Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc 2 \( K = 4x^2 + 3x + 2 \), chúng ta có thể sử dụng công thức tìm cực trị của hàm bậc 2. Hàm bậc 2 có dạng \( ax^2 + bx + c \) có giá trị nhỏ nhất khi \( a > 0 \) và giá trị nhỏ nhất tại \( x = -\frac{b}{2a} \).

Trong trường hợp của bạn:
- \( a = 4 \)
- \( b = 3 \)
- \( c = 2 \)

Vì \( a = 4 > 0 \), hàm này có giá trị nhỏ nhất. Bây giờ chúng ta tính giá trị \( x \) tại đó giá trị nhỏ nhất xảy ra:

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 4} = -\frac{3}{8}
\]

Tiếp theo, chúng ta thay giá trị \( x = -\frac{3}{8} \) vào hàm \( K \) để tìm giá trị nhỏ nhất:

\[
K = 4\left(-\frac{3}{8}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{8}\right) + 2
\]
\[
= 4 \cdot \frac{9}{64} - \frac{9}{8} + 2
\]
\[
= \frac{36}{64} - \frac{72}{64} + \frac{128}{64}
\]
\[
= \frac{36 - 72 + 128}{64}
\]
\[
= \frac{92}{64} = \frac{23}{16}
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm \( K \) là \( \frac{23}{16} \).