Để giải bài toán tìm \( x \), \( y \), và \( z \) với các phương trình đã cho:

### Bước 1: Giải phương trình
Phương trình đầu tiên là:

\[
\frac{x-1}{5} = \frac{y-5}{2}
\]

Ta có thể nhân chéo cả hai vế:

\[
2(x-1) = 5(y-5)
\]

Đưa nó về dạng đơn giản:

\[
2x - 2 = 5y - 25
\]
\[
2x - 5y = -23 \quad \text{(Phương trình 1)}
\]

Phương trình thứ hai là:

\[
x + y = 7 \quad \text{(Phương trình 2)}
\]

### Bước 2: Giải hệ phương trình
Từ phương trình 2, ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):

\[
y = 7 - x
\]

### Bước 3: Thay thế vào Phương trình 1
Thay \( y \) vào phương trình 1:

\[
2x - 5(7 - x) = -23
\]
\[
2x - 35 + 5x = -23
\]
\[
7x - 35 = -23
\]
\[
7x = 12
\]
\[
x = \frac{12}{7}
\]

### Bước 4: Tính \( y \)
Sử dụng giá trị của \( x \) để tính \( y \):

\[
y = 7 - \frac{12}{7} = \frac{49}{7} - \frac{12}{7} = \frac{37}{7}
\]

### Bước 5: Tìm \( z \)
Giá trị của \( z \) không được đề cập trong các phương trình, vì vậy nó có thể nhận bất kỳ giá trị nào.

### Kết quả
\[
x = \frac{12}{7}, \quad y = \frac{37}{7}, \quad z \text{ có thể nhận bất kỳ giá trị nào.}
\]