Để tính biểu thức \( \frac{4}{9} - \frac{13}{15} + \frac{5}{3} \), chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. Tính \(\frac{4}{9} - \frac{13}{15}\):
- Tìm mẫu số chung của hai phân số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 9 và 15 là 45.
- Chuyển đổi các phân số về mẫu số chung:
\[
\frac{4}{9} = \frac{4 \times 5}{9 \times 5} = \frac{20}{45}
\]
\[
\frac{13}{15} = \frac{13 \times 3}{15 \times 3} = \frac{39}{45}
\]
- Thực hiện phép trừ:
\[
\frac{20}{45} - \frac{39}{45} = \frac{20 - 39}{45} = \frac{-19}{45}
\]

2. Tính \(\frac{-19}{45} + \frac{5}{3}\):
- Chuyển đổi \(\frac{5}{3}\) về mẫu số chung 45:
\[
\frac{5}{3} = \frac{5 \times 15}{3 \times 15} = \frac{75}{45}
\]
- Thực hiện phép cộng:
\[
\frac{-19}{45} + \frac{75}{45} = \frac{-19 + 75}{45} = \frac{56}{45}
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
\frac{4}{9} - \frac{13}{15} + \frac{5}{3} = \frac{56}{45}
\]

Vậy, giá trị của biểu thức là \( \frac{56}{45} \).