Cho hệ phương trình nghiệm (x;y) thỏa mãn x - y = m - 1 và x + y = 3m - 5. Tìm m để x^2 + y^2 = 29

Để giải bài toán, đầu tiên chúng ta có hệ phương trình:

1. \( x - y = m - 1 \) (1)
2. \( x + y = 3m - 5 \) (2)

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình này theo \( x \) và \( y \).

Cộng hai phương trình (1) và (2):

\[
(x - y) + (x + y) = (m - 1) + (3m - 5)
\]

Điều này dẫn đến:

\[
2x = 4m - 6 \implies x = 2m - 3 \quad (3)
\]

Sau đó, trừ phương trình (1) từ (2):

\[
(x + y) - (x - y) = (3m - 5) - (m - 1)
\]

Điều này dẫn đến:

\[
2y = 2m - 4 \implies y = m - 2 \quad (4)
\]

Bây giờ chúng ta đã tìm được \( x \) và \( y \) theo \( m \):

- \( x = 2m - 3 \)
- \( y = m - 2 \)

Tiếp theo, chúng ta sử dụng điều kiện \( x^2 + y^2 = 29 \):

\[
(2m - 3)^2 + (m - 2)^2 = 29
\]

Phát triển biểu thức này:

\[
(2m - 3)^2 = 4m^2 - 12m + 9
\]
\[
(m - 2)^2 = m^2 - 4m + 4
\]

Cộng cả hai biểu thức lại:

\[
4m^2 - 12m + 9 + m^2 - 4m + 4 = 29
\]

Kết hợp các hạng tử lại:

\[
5m^2 - 16m + 13 = 29
\]

Chuyển 29 sang bên trái:

\[
5m^2 - 16m + 13 - 29 = 0
\]
\[
5m^2 - 16m - 16 = 0
\]

Chúng ta sẽ giải phương trình bậc 2 này bằng công thức nghiệm:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp của chúng ta:

- \( a = 5 \)
- \( b = -16 \)
- \( c = -16 \)

Tính b discriminant:

\[
b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-16) = 256 + 320 = 576
\]

Tính nghiệm:

\[
m = \frac{16 \pm \sqrt{576}}{10} = \frac{16 \pm 24}{10}
\]

Tính hai nghiệm:

1. \( m_1 = \frac{40}{10} = 4 \)
2. \( m_2 = \frac{-8}{10} = -0.8 \)

Vậy các giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình có nghiệm là \( m = 4 \) và \( m = -0.8 \).