Để giải các phương trình trong bài tập này, ta lần lượt giải từng phương trình một:

### Phương trình 1:
\[
\frac{x + 2}{x - 2} = \frac{5}{x^2 - 2x}
\]

Trước hết, nhận xét rằng \(x^2 - 2x = x(x - 2)\). Phương trình trở thành:
\[
\frac{x + 2}{x - 2} = \frac{5}{x(x - 2)}
\]

Nhân chéo:
\[
(x + 2)x = 5
\]

Giải phương trình:
\[
x^2 + 2x - 5 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6}
\]
Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = -1 + \sqrt{6} \quad \text{và} \quad x = -1 - \sqrt{6}
\]

### Phương trình 2:
\[
\frac{x - 1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{2x + 1}{x^2 + x}
\]

Mặt bên phải có thể viết thành:
\[
\frac{2x + 1}{x^2 + x} = \frac{2x + 1}{x(x + 1)}
\]

Nhân chéo:
\[
(x - 1)(x + 1) + x = 2x + 1
\]

Phát triển và kết hợp:
\[
x^2 - 1 + x = 2x + 1 \implies x^2 - 2x - 2 = 0
\]
Giải phương trình:
\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}
\]
Vậy nghiệm của phương trình là:
\[
x = 1 + \sqrt{3} \quad \text{hoặc} \quad x = 1 - \sqrt{3}
\]

### Phương trình 3:
\[
\frac{x - 7}{x(x - 7)} - \frac{49}{x(x - 7)} = \frac{3x}{x - 7}
\]

Tạo ra cùng mẫu:
\[
\frac{x - 7 - 49}{x(x - 7)} = \frac{3x}{x - 7}
\]

Rút gọn bên trái:
\[
\frac{x - 56}{x(x - 7)} = \frac{3x}{x - 7}
\]

Nhân chéo:
\[
(x - 56)(x - 7) = 3x^2
\]

Phát triển:
\[
x^2 - 63x + 392 = 3x^2
\]
Chuyển về dạng phương trình bậc hai:
\[
2x^2 - 63x + 392 = 0
\]
Giải phương trình:
\[
x = \frac{63 \pm \sqrt{3969 - 3136}}{4} = \frac{63 \pm \sqrt{833}}{4}
\]

### Tổng kết nghiệm:
1. Phương trình 1: \(x = -1 + \sqrt{6}, x = -1 - \sqrt{6}\)
2. Phương trình 2: \(x = 1 + \sqrt{3}, x = 1 - \sqrt{3}\)
3. Phương trình 3: \(x = \frac{63 \pm \sqrt{833}}{4}\)

Hy vọng hướng dẫn này sẽ giúp ích cho bạn!