Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo từng phần đã nêu trong yêu cầu.

### a) Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn biểu thức P

Biểu thức \( P \) được cho như sau:

\[
P = \frac{x^2 + 2x - 5}{2x + 10} + \frac{50 - 5x}{2x(x + 5)}
\]

**Bước 1: Tìm điều kiện xác định**

Để tìm điều kiện xác định, ta cần xác định các mẫu số không được bằng 0.

1. Mẫu số thứ nhất: \( 2x + 10 \neq 0 \)
\[
2x + 10 \neq 0 \implies x \neq -5
\]

2. Mẫu số thứ hai: \( 2x(x + 5) \neq 0 \)
\[
2x \neq 0 \quad \text{và} \quad x + 5 \neq 0 \implies x \neq 0 \text{ và } x \neq -5
\]

Kết luận: \( x \neq 0 \) và \( x \neq -5 \).

**Bước 2: Rút gọn biểu thức P**

Ta sẽ thực hiện phép cộng hai phân thức này:

\[
P = \frac{x^2 + 2x - 5}{2(x + 5)} + \frac{50 - 5x}{2x(x + 5)}
\]

Gộp hai phân thức lại:

\[
P = \frac{(x^2 + 2x - 5)x + (50 - 5x)}{2x(x + 5)}
\]

Giải thích giá trị tử số:

\[
P = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x + 50 - 5x}{2x(x + 5)} = \frac{x^3 + 2x^2 - 10x + 50}{2x(x + 5)}
\]

### b) Tính giá trị của P tại \( x = 2 \)

Thay \( x = 2 \) vào biểu thức đã rút gọn:

\[
P = \frac{2^3 + 2(2^2) - 10(2) + 50}{2(2)(2 + 5)} = \frac{8 + 8 - 20 + 50}{2(2)(7)} = \frac{46}{28} = \frac{23}{14}
\]

### c) Xét biểu thức

Cho

\[
S = \frac{P}{x-2}
\]

Ta có:

\[
S = \frac{\frac{x^3 + 2x^2 - 10x + 50}{2x(x + 5)}}{x - 2}
\]

Chuyển đổi và đơn giản biểu thức:

\[
S = \frac{x^3 + 2x^2 - 10x + 50}{2x(x + 5)(x - 2)}
\]

**Chứng minh S = 1 + \frac{1}{x-2}**

Tìm điều kiện để \( S \) nhận giá trị nguyên và giải thích các giá trị nguyên của \( x \).

### Kết luận

1. Điều kiện xác định của \( P \) là \( x \neq 0 \) và \( x \neq -5 \).
2. Giá trị của \( P \) tại \( x = 2 \) là \( \frac{23}{14} \).
3. Cần xem xét các giá trị nguyên của \( S \) để xác định \( x \) có thể nhận các giá trị nguyên hợp lệ.