Chứng minh bất đẳng thức sau

Để chứng minh bất đẳng thức \((x^{2}-5x+4)\left(2-5x+2x^{2}\right) \ge 0\), ta sẽ phân tích từng yếu tố trong bất đẳng thức.

1. **Phân tích yếu tố thứ nhất**: \(x^2 - 5x + 4\)

Để tìm nghiệm, ta sử dụng phương pháp phân tích hoặc công thức nghiệm:
\[
x^2 - 5x + 4 = 0 \implies x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}
\]
Từ đó ta tìm được các nghiệm:
\[
x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1
\]
Biểu thức \(x^2 - 5x + 4\) có dạng parabol hướng lên, và sẽ dương trên các khoảng: \((-\infty, 1)\) và \((4, +\infty)\), và âm trong khoảng \((1, 4)\).

2. **Phân tích yếu tố thứ hai**: \(2 - 5x + 2x^2\)

Tương tự, ta sẽ tìm nghiệm cho biểu thức này:
\[
2x^2 - 5x + 2 = 0 \implies x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}
\]
Ta tìm được các nghiệm là:
\[
x_3 = \frac{8}{4} = 2, \quad x_4 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
Biểu thức \(2 - 5x + 2x^2\) cũng có dạng parabol hướng lên, nên dương trên các khoảng sau:
- Âm trong khoảng \((\frac{1}{2}, 2)\)
- Dương tại \((-\infty, \frac{1}{2})\) và \((2, +\infty)\)

3. **Phân tích toàn bộ bất đẳng thức**:

Bây giờ ta sẽ xét các khoảng từ nghiệm của hai biểu thức trên.

- **Khoảng \((-\infty, \frac{1}{2})\)**:
- \(x^2 - 5x + 4 > 0\)
- \(2 - 5x + 2x^2 > 0\)
- Tích dương: \((+\infty)(+\infty) > 0\)

- **Khoảng \((\frac{1}{2}, 1)\)**:
- \(x^2 - 5x + 4 > 0\)
- \(2 - 5x + 2x^2 < 0\)
- Tích âm: \((+\infty)(-\infty) < 0\)

- **Khoảng \((1, 2)\)**:
- \(x^2 - 5x + 4 < 0\)
- \(2 - 5x + 2x^2 < 0\)
- Tích dương: \((-\infty)(-\infty) > 0\)

- **Khoảng \((2, 4)\)**:
- \(x^2 - 5x + 4 < 0\)
- \(2 - 5x + 2x^2 > 0\)
- Tích âm: \((-\infty)(+\infty) < 0\)

- **Khoảng \((4, +\infty)\)**:
- \(x^2 - 5x + 4 > 0\)
- \(2 - 5x + 2x^2 > 0\)
- Tích dương: \((+\infty)(+\infty) > 0\)

4. **Kết luận**:

Xem xét tất cả các khoảng, ta có thể thấy rằng bất đẳng thức \((x^2 - 5x + 4)(2 - 5x + 2x^2) \geq 0\) đúng trong các khoảng:
- \((-\infty, \frac{1}{2})\)
- \((1, 2)\)
- \((4, +\infty)\)

Nghĩa là bất đẳng thức chỉ không đúng trong khoảng \((\frac{1}{2}, 1)\) và \((2, 4)\).

Tóm lại, bất đẳng thức đã được chứng minh cụ thể cho các khoảng mà nó thỏa mãn, trong các khoảng dương sẽ có \(=0\) tại các điểm nghiệm của từng biểu thức.