Để chứng minh những tính chất của hình bình hành ABCD và các điểm trung điểm E, F, G, H, chúng ta sẽ làm theo từng phần:

### a) Chứng minh AFGH là hình bình hành.

1. **Định nghĩa các điểm:**
- E là trung điểm của AB.
- F là trung điểm của BC.
- G là trung điểm của CD.
- H là trung điểm của DA.

2. **Xét các đoạn thẳng:**
- Ta cần chứng minh AE // FG và AH // FG (hoặc tương tự cho các cặp cạnh khác).

3. **Tính chất của hình bình hành:**
- Trong hình bình hành, các cạnh đối diện song song và bằng nhau.
- Do đó, AE = EB và CF = FB, GD = DC, HA = AD.

4. **Cách đi đến kết luận:**
- Với E và F là trung điểm của AB và BC, ta có:
\[
EF = \frac{1}{2} (BC) = \frac{1}{2} (AD) \text{ (vì BC // AD và BC = AD)}
\]
- Tương tự, ta chứng minh GF = GH và AH = FG.
- Do đó, AFGH có cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song → AFGH là hình bình hành.

### b) Chứng minh AC, BD, EG, FH đồng quy.

1. **Sử dụng cách ngữ cảnh:**
- Ta sẽ chứng minh các đường chéo AC, BD, EG, và FH đồng quy bằng cách sử dụng định lý của Ptolemy hoặc định lý về tỷ lệ.

2. **Xét tỉ lệ trên các đoạn:**
- Ta cần kiểm tra xem trung điểm E, F, G, H có chia đoạn AC và BD thành những tỉ lệ giống nhau không.

3. **Tính chất của điểm trung điểm:**
- Dùng định lý về trung điểm:
- Xét tam giác ABE và CDE:
- \(\frac{AE}{EB} = 1\)
- \(\frac{CG}{GD} = 1\).
- Do đó, EG và FH cũng sẽ chia AC và BD theo tỉ lệ tương tự.

4. **Kết luận:**
- Bằng cách này, chúng ta thấy rằng EG và FH sẽ đồng quy tại một điểm trên AC và BD thì AC, BD, EG, FH sẽ đồng quy.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng AFGH là hình bình hành và các đoạn thẳng AC, BD, EG, FH đồng quy.