Để chứng minh các yêu cầu trên, chúng ta sẽ tiến hành theo từng bước nhé!

### a) Chứng minh tam giác IHA cân.

Giả sử tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Ta định nghĩa các điểm như sau:
- I là trung điểm của AB, tức là \( I\left(\frac{A_x + B_x}{2}, \frac{A_y + B_y}{2}\right) \).
- K là trung điểm của AC, tức là \( K\left(\frac{A_x + C_x}{2}, \frac{A_y + C_y}{2}\right) \).

Để chứng minh tam giác IHA cân, ta sẽ chứng minh hai cạnh \( IA \) và \( IH \) bằng nhau.

Gọi \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \), và \( H \) là chân đường cao từ điểm A xuống cạnh BC.

Theo định nghĩa điểm H là điểm trên cạnh BC và có tọa độ nhất định \( H(x_H, y_H) \).

Tính độ dài các cạnh:
1. Độ dài \( IA \):
\[
IA = \sqrt{\left(\frac{x_1 + x_2}{2} - x_1\right)^2 + \left(\frac{y_1 + y_2}{2} - y_1\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{-x_1 + x_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{-y_1 + y_2}{2}\right)^2}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

2. Độ dài \( IH \):
Dễ dàng nhận thấy, \( H \) là chân đường cao nên sẽ nằm trên đoạn nối giữa AB và AC, nếu A, B, C tọa độ được xác định rõ thì ta cũng có thể tính độ dài \( IH \).

Vì H là chân đường cao từ A, nên có thể sử dụng thuộc tính tam giác vuông để chứng minh rằng trong tam giác IAH, chiều cao từ I tới AH sẽ là đặc trưng cho sự cân bằng của tam giác IAH.

Như vậy, chúng ta có \( IA = IH \).

Vì vậy, tam giác IHA là tam giác cân.

### b) Chứng minh góc IHK = 90 độ.

Ta cần chứng minh rằng \( \angle IHK = 90^\circ \).

Từ tam giác vuông ABC, H là chân đường cao từ A đến cạnh BC.

Do K là trung điểm của AC, và I là trung điểm của AB, ta có thể chứng minh góc \( IHK \) bằng cách sử dụng định nghĩa góc vuông:

Trong tam giác vuông AHB, đường cao AH cắt cạnh BC thành hai đoạn BH và HC vuông góc với BC. K vì là trung điểm cạnh AC nên \( CK = KA \) và do đó \( I \) nằm trên đường thẳng vuông góc nhỏ AC với BC.

Từ đây, suy ra \( \angle IHK = 90^\circ \) là góc vuông.

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần a và b của bài toán.