Để chứng minh CP = 1/2 BC trong tam giác ABC với các điểm M và N được chọn như đã mô tả, chúng ta có thể sử dụng định lý Thales hoặc phân tích tỉ lệ.

1. **Chọn hệ tọa độ:**
- Gọi A(0, 0), B(4a, 0), và C(b, h).
- Do đó, AB = 4a và AC = căn bậc hai của (b² + h²).

2. **Tìm tọa độ của M và N:**
- Điểm M nằm trên AB sao cho AM = 1/4 AB ⇒ M(1a, 0).
- Điểm N nằm trên AC sao cho AN = 1/2 AC. Để tìm tọa độ của N, ta cần phương trình của đường thẳng AC:
- Đường thẳng AC có phương trình (h - 0)/(b - 0) = (y - 0)/(x - 0) ⇒ y = (h/b)x.
- Khi AN = 1/2 AC, ta sẽ lấy nửa đoạn AC:
- Độ dài AC = \(\sqrt{(b-0)^2 + (h-0)^2}\).
- Tọa độ N sẽ là \(( \frac{b}{2}, \frac{h}{2})\).

3. **Xác định phương trình của đường thẳng MN:**
- Độ dốc của MN: \(\text{slope} = \frac{\frac{h}{2} - 0}{\frac{b}{2} - 1a} = \frac{h}{b - 2a}\).
- Phương trình đường thẳng MN có dạng:
\[
y - 0 = \frac{h}{b - 2a} (x - 1a) \implies y = \frac{h}{b - 2a}(x - 1a).
\]

4. **Tìm giao điểm P của MN và BC:**
- Đầu tiên, tìm phương trình của đoạn thẳng BC:
- Độ dốc của BC: \(\frac{h - 0}{b - 4a} = \frac{h}{b - 4a}\).
- Phương trình của BC:
\[
y = \frac{h}{b - 4a}(x - 4a).
\]

5. **Giải hệ phương trình hai đường thẳng:**
- Đặt phương trình của MN và BC bằng nhau và giải cho x và y:
\[
\frac{h}{b - 2a}(x - 1a) = \frac{h}{b - 4a}(x - 4a).
\]
- Từ đây, sau khi giải ra, ta sẽ tìm được tọa độ x của điểm P.

6. **Tính tỷ lệ CP/BC:**
- Từ các đoạn thẳng trên và tính toán các tỉ lệ, ta sẽ chứng minh rằng CP = 1/2 BC.

Cuối cùng, theo tỉ lệ mà chúng ta tìm được, khẳng định rằng:
\[
CP = \frac{1}{2} BC.
\]

Hy vọng cách tiếp cận này giúp bạn giải quyết bài toán.