Để phân tích đa thức \( x^3 - 3x^2 + 1 - 3x \) thành nhân tử, trước hết ta sẽ sắp xếp lại các hạng tử theo thứ tự lũy thừa của \( x \):

\[
x^3 - 3x^2 - 3x + 1
\]

Bây giờ, ta sẽ thử tìm các nghiệm của đa thức này bằng cách dùng phương pháp thử giá trị, hoặc sử dụng định lý liên hợp, nhưng trước tiên hãy kiểm tra bằng cách tính giá trị tại một vài giá trị gợi ý.

Thử với \( x = 1 \):

\[
1^3 - 3(1^2) - 3(1) + 1 = 1 - 3 - 3 + 1 = -4 \quad (\text{không phải nghiệm})
\]

Thử tiếp với \( x = -1 \):

\[
(-1)^3 - 3(-1)^2 - 3(-1) + 1 = -1 - 3 + 3 + 1 = 0 \quad (\text{là nghiệm})
\]

Vì \( x = -1 \) là nghiệm, chúng ta có thể sử dụng phép chia đa thức để tìm phần còn lại của đa thức sau khi chia cho \( (x + 1) \).

Thực hiện phép chia \( x^3 - 3x^2 - 3x + 1 \) cho \( x + 1 \):

\[
\text{(Chia)} \quad x^3 + 1 \quad \text{(nhận được)} \quad x^2 - 4x + 1 \quad \text{(phần dư bằng 0)}
\]

Vậy \( x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = (x + 1)(x^2 - 4x + 1) \).

Bây giờ, chúng ta cần phân tích tiếp phần \( x^2 - 4x + 1 \):
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta tìm nghiệm của \( x^2 - 4x + 1 = 0 \):

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}
\]

Do đó, ta có thể viết lại các yếu tố của đa thức:

\[
x^2 - 4x + 1 = (x - (2 + \sqrt{3}))(x - (2 - \sqrt{3}))
\]

Cuối cùng, kết quả phân tích thành nhân tử của đa thức ban đầu là:

\[
x^3 - 3x^2 - 3x + 1 = (x + 1)(x - (2 + \sqrt{3}))(x - (2 - \sqrt{3}))
\]