Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh AD.BC = BE.AC = CF.AB

Để chứng minh rằng \( AD \cdot BC = BE \cdot AC = CF \cdot AB \) trong tam giác nhọn \( ABC \) với các đường cao \( AD, BE, CF \), ta sẽ sử dụng một số kiến thức về tam giác và các tỉ số liên quan.

1. **Chứng minh \( AD \cdot BC = BE \cdot AC \)**:
- Xét hai tam giác \( \triangle ABH \) và \( \triangle EHC \).
- Áp dụng tỉ số đoạn thẳng theo chiều cao:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{CH}
\]
và
\[
\frac{AD}{BE} = \frac{AH}{BH}
\]
- Từ đó, kết hợp lại, ta có:
\[
\frac{AD}{BC} = \frac{AB}{AC}
\]
- Suy ra:
\[
AD \cdot BC = BE \cdot AC
\]

2. **Chứng minh \( BE \cdot AC = CF \cdot AB \)**:
- Tương tự, xét hai tam giác \( \triangle BHC \) và \( \triangle AHF \).
- Áp dụng tỉ số đoạn thẳng:
\[
\frac{BH}{CH} = \frac{BE}{CF}
\]
- Và:
\[
\frac{BE}{AC} = \frac{AH}{BH}
\]
- Suy ra:
\[
BE \cdot AC = CF \cdot AB
\]

3. **Chứng minh \( CF \cdot AB = AD \cdot BC \)**:
- Thực hiện tương tự với hai tam giác \( \triangle AHF \) và \( \triangle BHC \).
- Kết quả sẽ cho ta mối quan hệ giống như trên.

Cuối cùng, từ ba mối quan hệ trên, ta nhận được rằng:
\[
AD \cdot BC = BE \cdot AC = CF \cdot AB
\]

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành bài chứng minh yêu cầu.