Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm M và N sao cho BM = CN. a) Chứng minh ∆AMN là tam giác cân. b) Từ B và C kẻ BE và CF theo thứ tự vuông góc với AM và AN (E thuộc AM, F thuộc AN). Chứng ..

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh ∆AMN là tam giác cân.

Ta có tam giác ABC cân tại A, nghĩa là AB = AC. Ký hiệu BM = CN = x.

Gọi D là điểm giữa của BC. Khi đó, BD = CD.

Xét hai tam giác AMB và ANC:
- Ta có AB = AC (do tam giác ABC cân).
- BM = CN (do đề bài cho).
- AD = AD (đường chung).

Áp dụng tiêu chuẩn đồng hình hai tam giác, có:
\[ AM = AM \]

Do đó, từ đó suy ra:
\[ AB = AC, \quad AM = AM, \quad BM = CN \]

=> ∆AMN cân tại A.

### b) Chứng minh BE = CF.

Theo đề bài, ta đã kẻ BE và CF vuông góc với AM và AN tại E và F. Ta cần chứng minh BE = CF.

Xét các tam giác vuông ABE và ACF:
- ∠ABE = ∠ACF = 90° (vì BE ⊥ AM và CF ⊥ AN).
- AB = AC (do tam giác ABC cân).
- AM = AN (do lý do tam giác cân).

Sử dụng định lý Pitago trong hai tam giác vuông này, ta có:
\[ AE^2 + BE^2 = AB^2 \]
\[ AF^2 + CF^2 = AC^2 \]

Vì AB = AC, nên:
\[ AE^2 + BE^2 = AF^2 + CF^2 \]

Do đó:
- Nếu ký hiệu AE = AF = h (độ dài đoạn vuông góc), ta có:
\[ h^2 + BE^2 = h^2 + CF^2 \]
=> BE^2 = CF^2
=> BE = CF.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong phần b.