Cho đường tròn  (O ; R ) điểm A nằm ngoài đường tròn ( O ) sao cho OA = 2R . Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn ( O ) ( BC là tiếp điểm). CM : a) AO là đường trung trực của BC. b) Đường vuông góc với OB tại O cắt AC tại E ..

Để chứng minh các phần a, b và c của đề bài, ta tiến hành như sau:

### Phần a: Chứng minh AO là đường trung trực của BC

1. **Tính chất của tiếp tuyến:** AB và AC là các tiếp tuyến từ điểm A tới đường tròn (O). Do đó, ta có \( AB \perp OB \) và \( AC \perp OC \).

2. **Cách lấy điểm M:** Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần chứng minh rằng \( AO \perp BC \).

3. **Xét tam giác OBA và OCA:** Trong hai tam giác OBA và OCA, ta có:
- OA = OA (chúng bằng nhau)
- OB = OC = R (rộng bằng bán kính)
- \( \angle OAB = \angle OAC = 90^\circ \) (due to tiếp tuyến)

4. Khi đó, ta có \( OA^2 = OB^2 + AB^2 \) và \( OA^2 = OC^2 + AC^2 \). Điều này cho thấy:
\[
AB = AC
\]
do đó, điểm B và C nằm đối xứng qua AO.

5. Từ đó, suy ra rằng AO là đường trung trực của BC.

### Phần b: Chứng minh tứ giác AEOF là hình thoi

1. **Xét điểm E và F:** E là giao điểm của đường vuông góc với OB tại O với AC, và F là giao điểm của đường vuông góc với AC tại O với AB.

2. **Tính chất hình thoi:** Để chứng minh AEOF là hình thoi, ta cần chứng minh rằng \( AE = OF \) và \( AF = OE \).

3. **Sử dụng tính chất tiếp xúc:** Do EF là tiếp tuyến tại điểm O nên ta có \( AE = OF \) và \( AF = OE \).

4. Khi đó, tính chất này giúp cho tứ giác AEOF trở thành hình thoi.

### Phần c: Chứng minh tam giác ABC đều và tính BC theo R

1. **Chứng minh tam giác ABC đều:**
- Bằng tính chất của tiếp tuyến, ta biết rằng \( AB = AC \) (do AB và AC đều là tiếp tuyến).
- Nếu BH là chiều cao từ B xuống AC và CH là chiều cao từ C xuống AB, với hai chiều cao bằng nhau, B và C là hai điểm đối xứng qua AO.

2. **Áp dụng định lý Pythagore:** Ta có:
\[
AB^2 = OA^2 - OB^2 = (2R)^2 - R^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2 \implies AB = AC = \sqrt{3}R
\]

3. **Tính BC:**
- Theo định lý trong tam giác đều, ta có \( BC = AB \sqrt{3} = \sqrt{3}R \sqrt{3} = 3R \).

### Kết luận

- Ta đã chứng minh rằng AO là đường trung trực của BC, tứ giác AEOF là hình thoi và tam giác ABC đều. Độ dài của BC tính theo R là \( BC = 3R \).