Để mỗi căn thức trong bài toán có nghĩa, ta cần phân tích từng căn thức và xác định các điều kiện của \( x \).

### a) \( \sqrt{2x - 1} \)
Cần \( 2x - 1 \geq 0 \) → \( 2x \geq 1 \) → \( x \geq \frac{1}{2} \).

### b) \( \sqrt{-8x} \)
Cần \( -8x \geq 0 \) → \( x \leq 0 \).

### c) \( \sqrt{3 + x} \)
Cần \( 3 + x \geq 0 \) → \( x \geq -3 \).

### d) \( \sqrt{x^2 + 2} \)
Vì \( x^2 + 2 \) luôn dương với mọi \( x \), không có điều kiện (có nghĩa với mọi \( x \)).

### e) \( \frac{2021}{3 - \sqrt{x}} \)
Cần \( 3 - \sqrt{x} \neq 0 \) và \( 3 - \sqrt{x} > 0 \) → \( \sqrt{x} < 3 \) → \( x < 9 \) và \( \sqrt{x} \geq 0 \) → \( x \geq 0 \).

### g) \( \frac{2}{\sqrt{3x - 15}} \)
Cần \( 3x - 15 > 0 \) → \( 3x > 15 \) → \( x > 5 \).

### h) \( \sqrt{3x + 1} \)
Cần \( 3x + 1 \geq 0 \) → \( x \geq -\frac{1}{3} \).

### k) \( \frac{x}{x - 2} + \sqrt{x + 2} \)
1. \( x - 2 \neq 0 \) → \( x \neq 2 \).
2. \( x + 2 \geq 0 \) → \( x \geq -2 \).

### Tóm tắt điều kiện:
- a) \( x \geq \frac{1}{2} \)
- b) \( x \leq 0 \)
- c) \( x \geq -3 \)
- d) Không có điều kiện
- e) \( 0 \leq x < 9 \)
- g) \( x > 5 \)
- h) \( x \geq -\frac{1}{3} \)
- k) \( x \geq -2 \) và \( x \neq 2 \)

Các giá trị của \( x \) cho từng căn thức sẽ giúp căn thức luôn có nghĩa.