Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (I) đường kính BH cắt AB tại D, vẽ (K) đường kính HC cắt AC tại E

Để giải bài toán liên quan đến tam giác vuông \( ABC \) và các hình tròn được vẽ:

**a)** Chứng minh \( \triangle ADHE \) là hình chữ nhật.

Ta có:
- \( AB \) là cạnh đáy của tam giác vuông \( ABC \).
- \( D \) là giao điểm của đường tròn (I) với \( AB \) và \( E \) là giao điểm của đường tròn (K) với \( AC \).

Do \( D \) nằm trên đường tròn có đường kính \( BH \) nên \( \angle BDA = 90^\circ \). Tương tự, vì \( E \) nằm trên đường tròn có đường kính \( HC \), nên \( \angle ECA = 90^\circ \).

Vì vậy, trong tam giác \( ABC \), ta có:
\[
\angle ADH = \angle ADB + \angle DAE = 90^\circ + \angle EAC = 90^\circ
\]

Vậy \( ADHE \) là một hình chữ nhật.

**b)** Chứng minh rằng \( AD = AB = AE \cdot AC \).

Xét các đoạn thẳng:
- \( AD \) và \( AE \) là bán kính của các đường tròn tương ứng.
- Ta có \( AB = AC \) (cạnh đối diện của tam giác vuông).

Suy ra \( AD = AE = AB = AC \).

**c)** Tính \( DE \) và diện tích tứ giác \( DEKI \).

Để tính \( DE \), sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( ADE \):
\[
DE^2 = AD^2 + AE^2
\]

Với giả thiết \( AB = 3 \) cm và \( BC = 5 \) cm, ta có:
\[
\text{Tính độ dài } AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \text{ cm}.
\]

Cuối cùng, để tính diện tích tứ giác \( DEKI \):
\[
\text{Diện tích } DEKI = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot KI \quad \text{(nếu KI là chiều cao từ E hoặc H)}.
\]

Tùy thuộc vào dữ liệu cụ thể, diện tích sẽ được tính theo kích thước đã cho. Bạn có thể áp dụng công thức này với các giá trị cụ thể trong bài toán.