Để giải bài tập này, ta sẽ sử dụng mối quan hệ giữa diện tích các tam giác.

### a) Tính diện tích tam giác ABC

Gọi diện tích của tam giác ABC là \( S_{ABC} \).

Ta biết rằng \[ CD = \frac{1}{2} AD \]
Suy ra \( AD = 2CD \).

Giả sử chiều cao từ điểm B xuống cạnh AC là h. Vì CD và AD có tỷ lệ 1:2, chiều cao từ B xuống cạnh AC tương ứng với các cạnh sẽ là:

- Chiều cao từ B xuống D là \( h \) (do độ dài này không thay đổi)
- Chiều cao từ B xuống A cũng là \( h \).

Diện tích của tam giác BCD được tính bằng công thức:
\[
S_{BCD} = \frac{1}{2} \times CD \times h
\]
Trong đó \( h \) là chiều cao từ B đến cạnh AC.

Vì chúng ta đã biết diện tích tam giác BCD là \( 20 \, cm^2 \):
\[
S_{BCD} = 20 = \frac{1}{2} \times CD \times h
\]

Diện tích tam giác ABD, có chiều cao cũng là \( h \) nhưng đáy là \( AD \), sẽ là:
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AD \times h
\]

Vì \( AD = 2CD \), ta có:
\[
S_{ABD} = \frac{1}{2} \times 2CD \times h = CD \times h
\]

Bây giờ, hãy tính tổng diện tích tam giác ABC:
\[
S_{ABC} = S_{ABD} + S_{BCD} = CD \times h + 20
\]

Chúng ta đã biết:
\[
CD \times h = 20
\]

Khi đó:
\[
S_{ABC} = 20 + 20 = 40 \, cm^2
\]

### b) Tính diện tích tứ giác BEDC

Lấy E là điểm chính giữa của cạnh AB. Diện tích tứ giác BEDC có thể được tính bằng cách thừa nhận rằng tứ giác BEDC là tổng diện tích của tam giác BEC và tam giác BDC.

Diện tích BEC là một nửa diện tích tam giác ABC:
\[
S_{BEC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20 \, cm^2
\]

Vì nên diện tích tứ giác BEDC sẽ:
\[
S_{BEDC} = S_{BEC} + S_{BCD} = 20 + 20 = 40 \, cm^2
\]

Vậy tổng kết:
- a) Diện tích tam giác ABC là \( 40 \, cm^2 \).
- b) Diện tích tứ giác BEDC là \( 40 \, cm^2 \).