Để giải bài toán này, trước hết ta bắt đầu từ phương trình:

\[ 2x^2 + 2mx + m^2 - 2 = 0. \]

Ta sẽ tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bất phương trình cho những nghiệm phân biệt là:

\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0.
\]

Xác định các hệ số trong phương trình:

- \( a = 2 \)
- \( b = 2m \)
- \( c = m^2 - 2 \)

Từ đó, tính biệt thức Delta:

\[
\Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m^2 - 2) = 4m^2 - 8(m^2 - 2) = 4m^2 - 8m^2 + 16 = -4m^2 + 16.
\]

Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần:

\[
-4m^2 + 16 > 0 \implies 4m^2 < 16 \implies m^2 < 4 \implies -2 < m < 2.
\]

Sau đó, theo công thức nghiệm của phương trình bậc 2, ta có hai nghiệm:

\[
x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2m \pm \sqrt{-4m^2 + 16}}{4} = \frac{-m \pm \sqrt{4 - m^2}}{2}.
\]

Gọi tích và tổng của nghiệm:

- Tổng \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2m}{2} = -m \).
- Tích \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m^2 - 2}{2} \).

Tiếp theo, chúng ta cần tính giá trị của biểu thức:

\[
A = |2x_1x_2 + x_1 + x_2 - 4|.
\]

Thay \( x_1 + x_2 \) và \( x_1 x_2 \) vào biểu thức A:

\[
A = |2 \cdot \left(\frac{m^2 - 2}{2}\right) - m - 4| = |(m^2 - 2) - m - 4| = |m^2 - m - 6|.
\]

Bây giờ, ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( A = |m^2 - m - 6| \) trong khoảng \( -2 < m < 2 \).

Bước tiếp theo là tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình:

\[
m^2 - m - 6 = 0.
\]

Tính biệt thức Delta của phương trình này:

\[
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.
\]

Nghiệm của phương trình là:

\[
m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}.
\]

Kết quả là:

\[
m_1 = 3, \quad m_2 = -2.
\]

Chỉ có \( m_2 = -2 \) ở biên. Ta đánh giá \( A \) tại các điểm biên \( m = -2 \) và \( m = 2 \) và tại các giá trị cực trị trong đoạn \( (-2, 2) \).

Tính giá trị tại \( m = -2 \):

\[
A(-2) = |(-2)^2 - (-2) - 6| = |4 + 2 - 6| = |0| = 0.
\]

Tính giá trị tại \( m = 2 \):

\[
A(2) = |(2)^2 - (2) - 6| = |4 - 2 - 6| = |-4| = 4.
\]

Đánh giá giá trị trong khoảng \( -2 < m < 2 \). Ta tính giá trị của \( A \) theo công thức bậc 2:

\[
A(m) = |m^2 - m - 6|.
\]

Đồ thị của hàm số là một parabol đi lên, có cắt trục hoành tại \( m = -2 \) và \( m = 3 \). Tại đoạn \( (-2, 2) \), giá trị cực đại sẽ nằm tại các điểm biên.

Do đó, giá trị lớn nhất của \( A \) trong khoảng \( (-2, 2) \) là:

\[
\max A = 4.
\]

Kết luận, giá trị lớn nhất của biểu thức \( A \) là:

\[
\boxed{4}.
\]