Tìm x, biết

Để giải bài toán này, ta sẽ tìm nghiệm cho từng phương trình một cách lần lượt.

### a) \( |x - 5| + |x + 1| = 7 \)

Ta có hai điểm phân chia để tìm nghiệm là \(x = -1\) và \(x = 5\). Do đó, ta xét ba trường hợp:

1. **Trường hợp 1**: \(x < -1\)
\[
-(x - 5) - (x + 1) = 7 \implies -x + 5 - x - 1 = 7 \implies -2x + 4 = 7 \implies -2x = 3 \implies x = -\frac{3}{2}
\]
(Nghiệm có hiệu lực vì \(-\frac{3}{2} < -1\))

2. **Trường hợp 2**: \(-1 \leq x < 5\)
\[
-(x - 5) + (x + 1) = 7 \implies -x + 5 + x + 1 = 7 \implies 6 = 7 \quad (\text{vô lý})
\]

3. **Trường hợp 3**: \(x \geq 5\)
\[
(x - 5) + (x + 1) = 7 \implies x - 5 + x + 1 = 7 \implies 2x - 4 = 7 \implies 2x = 11 \implies x = \frac{11}{2}
\]
(Nghiệm có hiệu lực vì \(\frac{11}{2} \geq 5\))

**Nghiệm của phương trình a)** là \(x = -\frac{3}{2}\) và \(x = \frac{11}{2}\).

---

### b) \( |x - 2| + |x - 3| + |x - 4| = 2 \)

Ta có ba điểm phân chia: \(x = 2\), \(x = 3\), và \(x = 4\). Ta sẽ xét bốn trường hợp:

1. **Trường hợp 1**: \(x < 2\)
\[
-(x - 2) - (x - 3) - (x - 4) = 2 \implies -x + 2 - x + 3 - x + 4 = 2 \implies -3x + 9 = 2 \implies -3x = -7 \implies x = \frac{7}{3}
\]
(Nghiệm không có hiệu lực vì \(\frac{7}{3} \geq 2\))

2. **Trường hợp 2**: \(2 \leq x < 3\)
\[
(x - 2) - (x - 3) - (x - 4) = 2 \implies (x - 2) - x + 3 - x + 4 = 2 \implies -x + 5 = 2 \implies -x = -3 \implies x = 3
\]
(Nghiệm có hiệu lực vì \(3\) nằm trong khoảng)

3. **Trường hợp 3**: \(3 \leq x < 4\)
\[
(x - 2) + (x - 3) - (x - 4) = 2 \implies (x - 2) + (x - 3) - x + 4 = 2 \implies x - 1 = 2 \implies x = 3
\]
(Nghiệm có hiệu lực)

4. **Trường hợp 4**: \(x \geq 4\)
\[
(x - 2) + (x - 3) + (x - 4) = 2 \implies (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) = 2 \implies 3x - 9 = 2 \implies 3x = 11 \implies x = \frac{11}{3}
\]
(Nghiệm có hiệu lực)

**Nghiệm của phương trình b)** là \(x = 3\) và \(x = \frac{11}{3}\).

---

### c) \( |x + 1| + |x - 2| + |x + 3| = 6 \)

Ta có ba điểm phân chia: \(x = -3\), \(x = -1\), và \(x = 2\). Ta sẽ xét bốn trường hợp:

1. **Trường hợp 1**: \(x < -3\)
\[
-(x + 1) - (x - 2) - (x + 3) = 6 \implies -x - 1 - x + 2 - x - 3 = 6 \implies -3x - 2 = 6 \implies -3x = 8 \implies x = -\frac{8}{3}
\]
(Nghiệm không có hiệu lực vì \(-\frac{8}{3} \geq -3\))

2. **Trường hợp 2**: \(-3 \leq x < -1\)
\[
-(x + 1) - (x - 2) + (x + 3) = 6 \implies -x - 1 - x + 2 + x + 3 = 6 \implies -x + 4 = 6 \implies -x = 2 \implies x = -2
\]
(Nghiệm có hiệu lực)

3. **Trường hợp 3**: \(-1 \leq x < 2\)
\[
(x + 1) - (x - 2) + (x + 3) = 6 \implies x + 1 - x + 2 + x + 3 = 6 \implies x + 6 = 6 \implies x = 0
\]
(Nghiệm có hiệu lực)

4. **Trường hợp 4**: \(x \geq 2\)
\[
(x + 1) + (x - 2) + (x + 3) = 6 \implies x + 1 + x - 2 + x + 3 = 6 \implies 3x + 2 = 6 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3}
\]
(Nghiệm không có hiệu lực vì \(\frac{4}{3} < 2\))

**Nghiệm của phương trình c)** là \(x = -2\) và \(x = 0\).

---

Tóm lại, nghiệm của các phương trình là:
- a) \(x = -\frac{3}{2}\) và \(x = \frac{11}{2}\)
- b) \(x = 3\) và \(x = \frac{11}{3}\)
- c) \(x = -2\) và \(x = 0\)