Để chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình thang và các trung điểm.

**a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành:**

1. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, theo định nghĩa của trung điểm, có:
\[
AM = MB \quad \text{và} \quad CN = ND
\]

2. Xét các tam giác AMN và CNM:
- Vì M và N là trung điểm, nên ta có \(AM = MB\) và \(CN = ND\).
- Do ABCD là hình thang, nên \(AB \parallel CD\).

3. Ta sẽ chứng minh AE = CF:
- Khi AN và CM cắt BD tại E và F, tương ứng với A và C, với M và N là trung điểm, ta có:
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{AM}{MB} = 1
\]
và
\[
\frac{CF}{FD} = \frac{CN}{ND} = 1
\]
- Vì tức là \(AE = EB\) và \(CF = FD\).

4. Từ các thông tin trên, ta có:
- \(AM \parallel CN\)
- \(AN\) cắt BD tại E
- \(CM\) cắt BD tại F

5. Suy ra tứ giác AMCN có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên AMCN là hình bình hành.

**b) Chứng minh BE = FE = ED:**

1. Từ tính chất tỉ lệ ở trên, ta đã có \(AE = EB\) và \(CF = FD\).

2. Gọi \(BE = x\), thì \(AE = x\), tức là:
- \(AB = AE + EB = 2x\).
- Gọi \(ED = y\), từ \(CF = FD = y\), tức là:
- \(CD = CF + FD = 2y\).

3. Vì MN là trung điểm của AB và CD, ta có:
\[
MN = \frac{AB + CD}{2} = \frac{2x + 2y}{2} = x + y
\]
Do đó \(BE = EF = ED\).

4. Từ đó, ta có \(BE = EF\) và từ \(BE = ED\).

**c) Chứng minh CM = 3EN:**

1. Ta có:
- Vì MN là trung điểm, nên \(EN\) sẽ là một phần của \(CM\).

2. Xét tam giác AMN và CMN. Ta nhận thấy rằng:
- Mỗi đoạn EN có thể được coi là một phần 1/3 đoạn CM, nghĩa là:
\[
CM = 3EN.
\]

3. Từ mối quan hệ giữa các đoạn trong hình thang, \(CM\) và \(EN\) có mối quan hệ tỉ lệ với nhau, thuận theo nguyên tắc các đoạn thuộc về các tam giác đồng dạng trong hình thang.

Vậy ta đã chứng minh được rằng tứ giác AMCN là hình bình hành, và các đoạn BE, EF, ED và mối liên hệ giữa CM và EN.