Để chứng minh biểu thức \( P = \frac{x - 1}{x - 5} + \frac{2}{x + 5} + \frac{10 + x - x^2}{x^2 - 25} \), ta sẽ thực hiện từng phần một trong bài:

### 1. Chứng minh \( P = \frac{3}{x - 5} \)

Đầu tiên, nhận thấy rằng \( x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \), do đó chúng ta có thể viết lại biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{x - 1}{x - 5} + \frac{2}{x + 5} + \frac{10 + x - x^2}{(x - 5)(x + 5)}
\]

Tiếp theo, ta cần đưa các phần tử này về cùng mẫu số chung. Mẫu số chung sẽ là \( (x - 5)(x + 5) \).

Tính từng phần tử:

- Phần thứ nhất:

\[
\frac{x - 1}{x - 5} = \frac{(x - 1)(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x - 5)(x + 5)}
\]

- Phần thứ hai:

\[
\frac{2}{x + 5} = \frac{2(x - 5)}{(x + 5)(x - 5)} = \frac{2x - 10}{(x - 5)(x + 5)}
\]

- Phần thứ ba đã có mẫu số:

\[
\frac{10 + x - x^2}{(x - 5)(x + 5)}
\]

Kết hợp lại:

\[
P = \frac{x^2 + 4x - 5 + 2x - 10 + 10 + x - x^2}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{3x - 5}{(x - 5)(x + 5)}
\]

Rút gọn:

\[
P = \frac{3(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{3}{x + 5} \quad (\text{với } x \ne 5)
\]

### 2. Tính giá trị của biểu thức \( P \) khi \( x = -2 \)

Thay \( x = -2 \) vào biểu thức đã rút gọn:

\[
P = \frac{3}{-2 + 5} = \frac{3}{3} = 1
\]

### 3. Tìm \( x \) nguyên để biểu thức \( P \) có giá trị nguyên lớn nhất

Biểu thức \( P = \frac{3}{x + 5} \) sẽ là số nguyên khi \( x + 5 \) chia hết cho 3. Điều này tương đương với:

\[
x + 5 = 3k \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]
\[
x = 3k - 5
\]

Ta cần tìm các giá trị nguyên \( x \). Khi \( k \) là số nguyên, \( x \) sẽ thay thế cho các giá trị \( 3k - 5 \).

Để có giá trị \( P \) lớn nhất, ta thấy rằng khi \( x + 5 \) nhỏ nhất, \( P \) sẽ có giá trị lớn nhất (nhưng không bằng 0 hay âm).

Do đó, xét các giá trị \( k \):

- Nếu \( k = 0 \), \( x = -5 \) (không phù hợp do mẫu số bằng 0)
- Nếu \( k = 1 \), \( x = -2 \)
- Nếu \( k = 2 \), \( x = 1 \)

Tính giá trị:

\[
x = -2 \implies P = 1
\]
\[
x = 1 \implies P = \frac{3}{6} = 0.5 \text{ (không nguyên)}
\]

Kết luận, giá trị nguyên lớn nhất của \( P \) là 1 tại \( x = -2 \).

### Tổng kết
- \( P = \frac{3}{x - 5} \)
- \( P(-2) = 1 \)
- Giá trị nguyên lớn nhất của \( P \) là 1 khi \( x = -2 \).