Để chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có thể sử dụng định nghĩa và tính chất của hình bình hành.

1. **Điều kiện**: Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu:
- Đối diện song song và bằng nhau: \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\).
- Hoặc, hai cặp cạnh đối diện bằng nhau: \(AB = CD\) và \(AD = BC\).

2. **Giả thuyết**:
- M là trung điểm của \(BC\), tức là \(BM = MC\).
- \(AM = MD\), nghĩa là đoạn AM bằng đoạn MD.

3. **Chứng minh**:
- Ta có:
- \(AM = MD\) (theo giả thuyết).
- \(BM = MC\) (do M là trung điểm của BC).
- Xét tam giác \(ABM\) và \(CDM\):
- Ta có \(AB = CD\) (khi chiếu vuông góc xuống từ A vào BC, ta thấy AB và CD là song song và bằng nhau do tính đối xứng).
- \(AM = MD\) (theo giả thuyết).
- \(BM = MC\) (do M là trung điểm của BC).
- Suy ra, theo tiêu chí cạnh – cạnh – cạnh (SSS), ta có:
- Tam giác \(ABM\) giống hệt với tam giác \(CDM\), do đó \(AD\) song song với \(BC\) và cũng bằng \(AB\).

4. **Kết luận**:
- Bởi vì cả hai cặp cạnh đối diện đều bằng nhau, tứ giác ABCD là hình bình hành.

Như vậy, tứ giác ABCD là hình bình hành.