Tìm các số nguyên x, y biết: xy-3x+2y = 19

Để tìm các số nguyên \( x, y \) thỏa mãn phương trình:

\[
xy - 3x + 2y = 19
\]

ta có thể viết lại phương trình này theo dạng:

\[
xy - 3x + 2y - 19 = 0
\]

Để giải phương trình này, ta có thể biến đổi nó. Thay đổi về dạng này sẽ giúp chúng ta tìm kiếm giá trị của \( y \) theo \( x \):

\[
xy + 2y = 3x + 19
\]

\[
y(x + 2) = 3x + 19
\]

\[
y = \frac{3x + 19}{x + 2}
\]

Để \( y \) là một số nguyên, điều kiện cần là \( x + 2 \) phải chia hết cho \( 3x + 19 \).

Ta có thể tìm giá trị của \( x \) để \( 3x + 19 \) chia hết cho \( x + 2 \) bằng cách thực hiện phép chia:

Dùng phương pháp chia:

1. Chia \( 3x + 19 \) cho \( x + 2 \):

Kết quả:
\[
3x + 19 = 3(x + 2) - 3 + 13 = 3(x + 2) + 13
\]

Vậy ta có:
\[
3x + 19 = (x + 2)(3) + 13
\]

Xây dựng từ đó, ta có thể có:

\[
y = 3 + \frac{13}{x + 2}
\]

Để \( y \) là số nguyên, \( x + 2 \) phải chia hết cho 13. Do đó, \( x + 2 \) có thể là các bội số của 13.

Các bội số của 13 là: ..., -26, -13, 0, 13, 26, ...

Vì vậy, ta có thể viết:

\[
x + 2 = k \cdot 13 \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Từ đó, ta có:

\[
x = 13k - 2
\]

Bây giờ cần tìm \( y \):

Từ \( y = 3 + \frac{13}{x + 2} \), ta có:

\[
y = 3 + \frac{13}{13k} = 3 + \frac{1}{k}
\]

Với điều kiện \( k \) khác 0 để không chia cho 0.

Cho k = 1, y = 4,
Cho k = -1, y = 2,
Cho k = 2, y = 3.5 (không nguyên),
Cho k = -2, y = 2.5 (không nguyên),
Cho k = 3, y = 4.333 (không nguyên),
...

Tiếp tục tìm các giá trị nguyên cho \( y \).

Rút ra các cặp \( (x,y) \):

1. Với \( k = 1 \): \( x = 11, y = 4 \)
2. Với \( k = -1 \): \( x = -15, y = 2 \)

Mỗi giá trị của \( k \) có thể tìm ra nhiều giá trị nhưng đòi hỏi phải là số nguyên.

Kết quả thu được sẽ là các cặp \( (x, y) \):

- \( (11, 4) \)
- \( (-15, 2) \)

Bạn có thể tiếp tục với các giá trị \( k \) khác để tìm thêm giá trị nguyên.