Để chứng minh ba điểm \( A \), \( O \), \( E \) thẳng hàng và \( AH < AB < AE \), ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh ba điểm \( A \), \( O \), \( E \) thẳng hàng.

1. **Xét đường tròn**: Gọi \( O \) là tâm của đường tròn đi qua ba điểm \( A \), \( B \), \( C \). Điều này có nghĩa là \( OA = OB = OC \).

2. **Tia \( OE \)**: Điểm \( E \) nằm trên cung nhỏ \( BC \) sao cho \( BE = EC \). Điều này cho thấy \( E \) là điểm đối xứng của \( A \) qua trục \( BC \).

3. **Tính chất của các điểm trên đường tròn**: Vì \( A \), \( B \), \( C \) thuộc cùng một đường tròn, và điểm \( E \) là đối xứng của \( A \) qua \( BC \), nên ba điểm \( A \), \( O \), \( E \) nằm trên một đường thẳng.

### b) Chứng minh rằng \( AH < AB < AE \).

1. **Chân đường cao \( H \)**: Điểm \( H \) là chân đường cao hạ từ \( A \) xuống \( BC \). Vậy \( AH \perp BC \).

2. **So sánh \( AH \) với \( AB \)**:
- Theo định nghĩa chiều dài, ta có \( AH < AB \) vì tuyệt đối độ dài đoạn thẳng hạ từ một điểm đến một đường thẳng (điểm \( A \) đến đường thẳng \( BC \)) không thể lớn hơn độ dài của đoạn thẳng giữa điểm đó và điểm trên đường thẳng.

3. **So sánh \( AB \) với \( AE \)**:
- Vì \( E \) là điểm đối xứng với \( A \) qua đường thẳng \( BC \), ta có rằng đoạn \( AE \) là đường chéo bị kéo dài thêm so với đoạn \( AB \). Do đó, \( AB < AE \).

Từ hai kết luận trên, ta có \( AH < AB < AE \).

Vậy điều phải chứng minh đã hoàn tất.