Chứng minh bất trị

Bài toán chứng minh bất trị thường liên quan đến việc tìm kiếm các giá trị không đạt được của một biểu thức nhất định. Dưới đây là hướng dẫn mẫu cho một số bài toán trong hình:

### a) \( x^2 + 6x + 11 > 0 \) với mọi \( x \)

**Chứng minh:**
1. Xét biểu thức: \( x^2 + 6x + 11 \).
2. Tính delta: \( \Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8 \).
3. Vì \( \Delta < 0 \), nghiệm của phương trình không tồn tại. Vậy biểu thức luôn dương với mọi \( x \).

---

### b) \( 4x^2 + 10x + 12 > 0 \) với mọi \( x \)

**Chứng minh:**
1. Xét biểu thức: \( 4x^2 + 10x + 12 \).
2. Tính delta: \( \Delta = 10^2 - 4 \cdot 4 \cdot 12 = 100 - 192 = -92 \).
3. Vì \( \Delta < 0 \), biểu thức luôn dương với mọi \( x \).

---

### c) \( x^2 + x + 2 > 0 \) với mọi \( x \)

**Chứng minh:**
1. Xét biểu thức: \( x^2 + x + 2 \).
2. Tính delta: \( \Delta = 1 - 8 = -7 \).
3. Vì \( \Delta < 0 \), biểu thức luôn dương với mọi \( x \).

---

### d) \( 2x - x^2 - 3 < 0 \)

**Chứng minh:**
1. Xét biểu thức: \( -x^2 + 2x - 3 \).
2. Tính delta: \( \Delta = 2^2 - 4(-1)(-3) = 4 - 12 = -8 \).
3. Phương trình bậc 2 này có đồ thị hình Parabol hướng xuống và luôn âm trên khoảng thực.

---

### e) \( -x^2 - x - 1 < 0 \)

**Chứng minh:**
1. Xét biểu thức: \( -x^2 - x - 1 \).
2. Tính delta: \( \Delta = (-1)^2 - 4(-1)(-1) = 1 - 4 = -3 \).
3. Vì \( \Delta < 0 \), biểu thức luôn âm với mọi \( x \).

---

### f) \( -3x^2 - 5 < 0 \)

**Chứng minh:**
1. Xét biểu thức: \( -3(x^2 + \frac{5}{3}) < 0 \).
2. \( x^2 + \frac{5}{3} > 0 \) với mọi \( x \), nên biểu thức luôn âm.

---

Tất cả các chứng minh này đều áp dụng phương pháp kiểm tra delta của các biểu thức đa thức bậc 2. Nếu delta nhỏ hơn 0, điều đó có nghĩa là không có nghiệm và nếu hệ số của \( x^2 \) dương hoặc âm, bạn có thể rút ra được tính chất của biểu thức đó.