Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích và chứng minh từng phần một cách chi tiết:

### Đề bài
Cho tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) với \( A < 90^\circ \). Kẻ \( BD \) vuông góc với \( AC \) tại \( D \) và \( CE \) vuông góc với \( AB \) tại \( E \).

### Chứng minh

#### a) Chứng minh tam giác \( ADE \) cân

Trong tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), có \( AB = AC \).

Xét các góc:
- \( \angle ABD = \angle ACD = 90^\circ \)
- \( \angle DAB = \angle EAC \) (cùng một góc tại \( A \))

Bằng cách sử dụng tính chất của các góc trong tam giác cân, ta có:
\[
\angle ADB = \angle ADC
\]

Vì vậy, trong tam giác \( ADE \):
- \( AD = AE \) (do góc đối chúng bằng nhau)

Vậy tam giác \( ADE \) là tam giác cân.

#### b) Chứng minh \( DE \parallel BC \)

Do \( BD \perp AC \) và \( CE \perp AB \), ta có:
- \( \angle ADB + \angle ABE = 90^\circ \) (vì \( BD \) và \( CE \) là các đường vuông góc)
- \( \angle ACD + \angle AEC = 90^\circ \)

Vì \( \angle ADB = \angle AEC \) (có tính chất đối đỉnh), ta có \( DE \) vuông góc với cả hai đoạn \( AB \) và \( AC \) (là một đường song song với \( BC \)).

Do đó, \( DE \parallel BC \).

#### c) Chứng minh \( IB = IC \)

Gọi \( I \) là giao điểm của \( BD \) và \( CE \).
Tam giác \( ABC \) là tam giác cân, nên \( I \) là trọng tâm của \( BC \).

Vì \( DE \parallel BC \) và \( I \) nằm trên đường trung tuyến, từ đó suy ra rằng:
\[
IB = IC
\]
đúng với định nghĩa khoảng cách từ điểm đến đoạn thẳng.

#### d) Chứng minh \( AI \perp BC \)

Từ những kết luận ở trên, ta cũng biết rằng:
- \( AI \) là đường trung tuyến trong tam giác \( ABC \).

Từ tính chất của trọng tâm trong tam giác cân, ta có:
\[
AI \perp BC
\]
Vì tam giác \( ABC \) là tam giác cân, nên đường trung tuyến từ \( A \) cũng là đường cao.

### Kết luận
Ta đã chứng minh được cả bốn phần của bài toán:
- Tam giác \( ADE \) cân.
- \( DE \parallel BC \).
- \( IB = IC \).
- \( AI \perp BC \).

Hy vọng giải thích trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này!