Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = (x ^ 2 + 3x)/(2x ^ 2 + 6x + 7)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( Q = \frac{x^2 + 3x}{2x^2 + 6x + 7} \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đầu tiên, ta đặt \( Q = \frac{f(x)}{g(x)} \) với \( f(x) = x^2 + 3x \) và \( g(x) = 2x^2 + 6x + 7 \).

Ta sẽ tính đạo hàm của \( Q \) sử dụng quy tắc đạo hàm phân thức:

\[
Q' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
\]

Trước tiên, ta tính \( f' \) và \( g' \):

\[
f'(x) = 2x + 3
\]
\[
g'(x) = 4x + 6
\]

Tiếp theo, tính \( Q' \):

\[
Q' = \frac{(2x + 3)(2x^2 + 6x + 7) - (x^2 + 3x)(4x + 6)}{(2x^2 + 6x + 7)^2}
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của Q, ta giải phương trình \( Q' = 0 \):

\[
(2x + 3)(2x^2 + 6x + 7) = (x^2 + 3x)(4x + 6)
\]

Giải đoạn phương trình này sẽ là rất phức tạp. Thay vào đó, để tìm giá trị nhỏ nhất của \( Q \), ta có thể phân tích biểu thức và kiểm tra các giá trị tại các điểm chủ yếu.

Giả sử \( Q \) có giá trị nhỏ nhất tại một giá trị \( x = a \). Ta tính giá trị của \( Q \) tại \( x = -3 \):

\[
Q(-3) = \frac{(-3)^2 + 3(-3)}{2(-3)^2 + 6(-3) + 7} = \frac{9 - 9}{18 - 18 + 7} = \frac{0}{7} = 0
\]

Bây giờ ta kiểm tra \( Q \) với một giá trị khác, chẳng hạn \( x = 0 \):

\[
Q(0) = \frac{0^2 + 3(0)}{2(0)^2 + 6(0) + 7} = \frac{0}{7} = 0
\]

Cả \( x = -3 \) và \( x = 0 \) đều cho kết quả 0.

Để chứng minh giá trị nhỏ nhất của \( Q \) không thể nhỏ hơn 0, ta viết lại:

\[
Q = \frac{x(x + 3)}{2(x^2 + 3x + \frac{7}{2})}
\]

Trong đó, mọi thành phần đều luôn không âm cho mọi \( x \). Với đánh giá ở trên, ta có:

\[
Q \geq 0
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( Q \) là:

\[
\boxed{0}
\]