Để xét tính chẵn lẻ của hàm số \( f(x) = x^3 (x^3 + 1) \), ta sẽ kiểm tra các điều kiện của hàm chẵn và hàm lẻ.

1. **Hàm chẵn**: Một hàm số \( f(x) \) được gọi là hàm chẵn nếu \( f(-x) = f(x) \) với mọi \( x \) trong miền xác định.

2. **Hàm lẻ**: Một hàm số \( f(x) \) được gọi là hàm lẻ nếu \( f(-x) = -f(x) \) với mọi \( x \) trong miền xác định.

**Tính \( f(-x) \)**:

\[
f(-x) = (-x)^3 \left((-x)^3 + 1\right)
\]
\[
= -x^3 \left(-x^3 + 1\right)
\]
\[
= -x^3 (-x^3 + 1) = -x^3(-x^3) + x^3
\]
\[
= -(-x^6 + x^3) = x^6 - x^3
\]

**Tính \( -f(x) \)**:

\[
-f(x) = -x^3 (x^3 + 1) = -x^6 - x^3
\]

**So sánh \( f(-x) \) và \( -f(x) \)**:

\[
f(-x) = x^6 - x^3
\]
\[
-f(x) = -x^6 - x^3
\]

Từ đây thấy rằng:
- \( f(-x) \neq f(x) \) (do \( x^6 - x^3 \neq x^6 + x^3 \)).
- \( f(-x) \neq -f(x) \) (do \( x^6 - x^3 \neq -x^6 - x^3 \)).

Vậy hàm số \( f(x) \) không chẵn cũng không lẻ.

Kết luận: Hàm số \( f(x) = x^3 (x^3 + 1) \) không phải là hàm chẵn và cũng không phải là hàm lẻ.