Để chứng minh tứ giác \( AEFI \) là hình thang, ta làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác \( AEFI \) là hình thang

1. **Coi toạ độ của các điểm:**
Giả sử các điểm có toạ độ:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, b)
- D(0, b)

2. **Tính toạ độ các điểm I và K:**
- \( I \) là trung điểm của \( AB \):
\[
I\left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]
- \( K \) là trung điểm của \( CD \):
\[
K\left(\frac{a}{2}, b\right)
\]

3. **Tìm phương trình các đường thẳng \( AK \) và \( CI \):**
- Phương trình đường thẳng \( AK \) có dạng:
\[
y = \frac{b}{\frac{a}{2}} \left( x - 0 \right) = \frac{2b}{a} x
\]
- Phương trình đường thẳng \( CI \) có dạng:
\[
y = -\frac{b}{\frac{a}{2}} \left( x - a \right) + b = -\frac{2b}{a} x + 2b
\]

4. **Tìm giao điểm \( E \) của \( AK \) và \( BD \):**
- Phương trình đường thẳng \( BD \) là:
\[
y = -\frac{b}{a} x + b
\]
- Giải hệ phương trình để tìm \( E \):
\[
\frac{2b}{a} x = -\frac{b}{a} x + b
\]
Giải ra được toạ độ của E.

5. **Tìm giao điểm \( F \) của \( CI \) và \( BD \)** và làm tương tự như trên để tìm Tọa độ \( F \).

6. **Chứng minh rằng \( AE \parallel IF \) hoặc \( EF \parallel AI\):**
- Tính độ dốc của \( AE \) và \( IF \), chứng minh rằng chúng bằng nhau.

7. **Kết luận:**
Do \( AEFI \) có 1 cặp cạnh song song, nên \( AEFI \) là hình thang.

### b) Chứng minh \( DE = EF = FB \)

1. **Sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng:**
Do I và K là trung điểm nên ta có:
\[
DE = DF, EF + FB = \frac{1}{2} BD
\]

2. **Chứng minh \( DE = EF = FB \):**
Áp dụng Thuyết Định Luật Tương Phản hoặc Định Lý Cạnh Song Song sẽ giúp rút ra mối quan hệ giữa độ dài các đoạn thẳng.

### Kết luận

Tứ giác \( AEFI \) là hình thang và các đoạn \( DE, EF, FB \) đều bằng nhau.