Để chứng minh bốn điểm \( B, C, D, E \) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học trong tam giác nhọn \( ABC \) với các đường cao \( BD \) và \( CE \).

1. **Định nghĩa các điểm**:
- \( D \) là trung điểm của \( BC \).
- \( E \) là giao điểm của \( CE \) và đường phân giác của góc \( A \).
- \( I \) là trung điểm của \( DE \).

2. **Áp dụng tính chất hình học**:
- Mỗi đường cao \( BD \) và \( CE \) trong tam giác nhọn \( ABC \) đều tạo ra góc vuông tại \( D \) và \( E \), tức là góc \( BDC = 90^\circ \) và \( CED = 90^\circ \).

3. **Chứng minh bốn điểm \( B, C, D, E \) cùng thuộc một đường tròn**:
- Ta có góc \( BDC = 90^\circ \) và góc \( CED = 90^\circ \).
- Ta sẽ xem xét tứ giác \( BDEC \).

4. **Sử dụng tính chất tứ giác**:
- Tứ giác \( BDEC \) là tứ giác nội tiếp trong đường tròn nếu tổng các góc đối diện của nó bằng \( 180^\circ \).
- Có:
\[
\angle BDC + \angle BEC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
- Như vậy, ta có thể kết luận rằng tứ giác \( BDEC \) là tứ giác nội tiếp.

5. **Kết luận**:
- Vì vậy, bốn điểm \( B, C, D, E \) cùng nằm trên một đường tròn.

Đến đây, ta đã hoàn thành việc chứng minh rằng 4 điểm \( B, C, D, E \) nằm trên một đường tròn.