Trong hệ trục tọa độ Oxy cho các điểm \( M(-1; -2), N(1; 2) \) và \( P(-5; 0) \). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

Để tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( MNP \), chúng ta cần biết độ dài các cạnh của tam giác và diện tích của tam giác đó.

**Bước 1: Tính độ dài các cạnh của tam giác \( MNP \)**

1. Tính độ dài cạnh \( MN \):
\[
MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(1 + 1)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

2. Tính độ dài cạnh \( NP \):
\[
NP = \sqrt{(x_P - x_N)^2 + (y_P - y_N)^2} = \sqrt{(-5 - 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
\]

3. Tính độ dài cạnh \( PM \):
\[
PM = \sqrt{(x_M - x_P)^2 + (y_M - y_P)^2} = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]

**Bước 2: Tính diện tích tam giác \( MNP \)**

Sử dụng công thức diện tích tam giác với tọa độ các đỉnh:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_M(y_N - y_P) + x_N(y_P - y_M) + x_P(y_M - y_N) \right|
\]
Thay tọa độ vào:
\[
S = \frac{1}{2} \left| -1(2 - 0) + 1(0 + 2) + (-5)(-2 - 2) \right| = \frac{1}{2} \left| -2 + 2 + 20 \right| = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10
\]

**Bước 3: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp**

Bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác được tính bằng công thức:
\[
R = \frac{abc}{4S}
\]
Trong đó:
- \( a = MN = 2\sqrt{5} \)
- \( b = NP = 2\sqrt{10} \)
- \( c = PM = 2\sqrt{5} \)
- \( S = 10 \)

Tính \( abc \):
\[
abc = (2\sqrt{5})(2\sqrt{10})(2\sqrt{5}) = 8 \cdot 5\sqrt{2} = 40\sqrt{2}
\]

Cuối cùng tính bán kính:
\[
R = \frac{40\sqrt{2}}{4 \cdot 10} = \frac{40\sqrt{2}}{40} = \sqrt{2}
\]

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \( MNP \) là \( R = \sqrt{2} \).