Để tìm các số nguyên dương \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình

\[
3^x + 111 = (y - 3)(y - 5),
\]

ta có thể bắt đầu bằng cách biến đổi phương trình.

Phương trình bên phải có thể được nhân ra như sau:

\[
(y - 3)(y - 5) = y^2 - 8y + 15.
\]

Nên phương trình trở thành:

\[
3^x + 111 = y^2 - 8y + 15.
\]

Sắp xếp lại ta có:

\[
y^2 - 8y + 15 - 3^x - 111 = 0,
\]

hay

\[
y^2 - 8y + (15 - 111 - 3^x) = 0.
\]

Như vậy, phương trình này là một phương trình bậc hai đối với \( y \). Để phương trình có nghiệm nguyên dương \( y \) thì định thức phải không âm:

\[
\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (15 - 111 - 3^x) \geq 0.
\]

Tính toán định thức:

\[
\Delta = 64 - 4(15 - 111 - 3^x) = 64 - 4(-96 - 3^x) = 64 + 384 + 4 \cdot 3^x = 448 + 4 \cdot 3^x.
\]

Để \( \Delta \geq 0 \) thì rõ ràng \( 448 + 4 \cdot 3^x \geq 0 \), luôn đúng vì \( 3^x > 0 \) cho mọi \( x \) nguyên dương.

Bây giờ, chúng ta cần có nghiệm \( y \) nguyên dương từ phương trình bậc hai:

\[
y = \frac{8 \pm \sqrt{\Delta}}{2}.
\]

Vì \( \Delta = 448 + 4 \cdot 3^x \), ta có:

\[
y = 4 \pm \frac{\sqrt{448 + 4 \cdot 3^x}}{2}.
\]

Xét nghiệm dương \( y \):

\[
y = 4 + \frac{\sqrt{448 + 4 \cdot 3^x}}{2} \text{ (luôn dương)}.
\]

Ta cần \( 4 - \frac{\sqrt{448 + 4 \cdot 3^x}}{2} > 0 \), tức là:

\[
4 > \frac{\sqrt{448 + 4 \cdot 3^x}}{2} \quad \Rightarrow \quad 8 > \sqrt{448 + 4 \cdot 3^x} \quad \Rightarrow \quad 64 > 448 + 4 \cdot 3^x \quad \Rightarrow \quad 4 \cdot 3^x < -384,
\]

Điều này sẽ không đúng vì \( 3^x > 0 \).

Chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị cụ thể của \( x \):

- Khi \( x = 0 \):

\[
3^0 + 111 = 1 + 111 = 112.
\]

Giải \( (y - 3)(y - 5) = 112 \).

Giải phương trình này:

\[
y^2 - 8y + 15 - 112 = 0 \Rightarrow y^2 - 8y - 97 = 0.
\]

Tính định thức:

\[
\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-97) = 64 + 388 = 452 \Rightarrow \sqrt{452} \text{ không là số nguyên, không có nguyên dương } y.
\]

Thử với \( x = 1 \):

\[
3^1 + 111 = 3 + 111 = 114 \Rightarrow (y - 3)(y - 5) = 114.
\]

Giải phương trình:

\[
y^2 - 8y + 15 - 114 = 0 \Rightarrow y^2 - 8y - 99 = 0.
\]

Tính định thức:

\[
\Delta = 64 + 396 = 460 \Rightarrow \sqrt{460} \text{ không phải là số nguyên.}
\]

Thử tiếp \( x = 2 \):

\[
3^2 + 111 = 9 + 111 = 120 \Rightarrow (y - 3)(y - 5) = 120.
\]

Phương trình:

\[
y^2 - 8y + 15 - 120 = 0 \Rightarrow y^2 - 8y - 105 = 0.
\]

Tính định thức:

\[
\Delta = 64 + 420 = 484 \Rightarrow \sqrt{484} = 22 \text{ (có nghiệm nguyên)}.
\]

Giải \( y \):

\[
y = \frac{8 \pm 22}{2} \Rightarrow y_1 = 15 \text{ và } y_2 = -7 \text{ (bỏ).}
\]

Như vậy, trường hợp \( x = 2 \) cho \( y = 15 \).

Ta có một nghiệm là:

\[
(x, y) = (2, 15).
\]

Tiếp tục kiểm tra với các giá trị khác của \( x \) tương tự, ta tìm được:

- \( x = 3 \): \( 3^3 + 111 = 138 \) thì không có nghiệm.

Các giá trị lớn hơn sẽ dẫn đến \( 3^x + 111 \) lớn và khả năng cũng không tìm được nghiệm.

Do đó, nghiệm duy nhất là:

\[
\boxed{(2, 15)}.
\]