Hai người dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong. Họ làm vớ nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai vẫn tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi, nên người thứ hai đã làm xong công việc còn lại trong 2 giờ 20 phút. Hỏi nếu người thứ hai làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì mất bao lâu xong công việc nói trên?

Để giải bài toán này, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Xác định công việc và năng suất**:
- Hai người dự định làm một công việc trong 12 giờ, tức là năng suất của hai người trong 1 giờ là \( \frac{1}{12} \) công việc.
- Nếu gọi năng suất của người thứ nhất là \( A \) và của người thứ hai là \( B \), thì ta có:
\[
A + B = \frac{1}{12}
\]

2. **Làm việc trong 8 giờ**:
- Sau 8 giờ, tổng công việc đã hoàn thành là \( 8(A + B) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \) công việc.
- Công việc còn lại là \( 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \).

3. **Người thứ hai hoàn thành phần còn lại**:
- Người thứ hai làm phần còn lại trong 2 giờ 20 phút, tức là \( \frac{7}{3} \) giờ.
- Năng suất của người thứ hai trong thời gian này là gấp đôi năng suất dự kiến, vì vậy:
\[
2B \cdot \frac{7}{3} = \frac{1}{3}
\]
- Từ đó, tính được:
\[
2B = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{1}{7} \Rightarrow B = \frac{1}{14}
\]

4. **Tính năng suất của người thứ nhất**:
- Thay giá trị \( B \) vào phương trình ban đầu:
\[
A + \frac{1}{14} = \frac{1}{12}
\]
- Tìm \( A \):
\[
A = \frac{1}{12} - \frac{1}{14} = \frac{7 - 6}{84} = \frac{1}{84}
\]

5. **Thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai một mình**:
- Nếu người thứ hai làm một mình với năng suất dự định, thì thời gian hoàn thành công việc sẽ là:
\[
\text{Thời gian} = \frac{1}{B} = 14 \text{ giờ}.
\]

**Kết luận**: Nếu người thứ hai làm một mình với năng suất dự định ban đầu, thì sẽ mất 14 giờ để hoàn thành công việc.