Giải hệ phương trình

Để giải hệ phương trình:

\[
\frac{3}{4x - y} - \frac{10}{2x + 3y} = -1
\]

\[
\frac{4}{4x - y} + \frac{3}{2x + 3y} = \frac{29}{15}
\]

Chúng ta sẽ đặt \( A = 4x - y \) và \( B = 2x + 3y \). Hệ phương trình sẽ trở thành:

\[
\frac{3}{A} - \frac{10}{B} = -1 \quad \text{(1)}
\]

\[
\frac{4}{A} + \frac{3}{B} = \frac{29}{15} \quad \text{(2)}
\]

Từ phương trình (1), ta có:

\[
\frac{3}{A} = -1 + \frac{10}{B} \Rightarrow \frac{3}{A} = \frac{10}{B} - 1 \Rightarrow \frac{3}{A} = \frac{10 - B}{B}
\]

Sao chép lại để giải phương trình này:

\[
3B = (10 - B)A \Rightarrow 3B = 10A - BA \Rightarrow (3 + A)B = 10A
\]

Từ đây, ta có:

\[
B = \frac{10A}{3 + A} \quad \text{(3)}
\]

Tiếp tục với phương trình (2):

\[
\frac{4}{A} + \frac{3}{B} = \frac{29}{15}
\]

Thay \( B \) từ phương trình (3) vào (2):

\[
\frac{4}{A} + \frac{3}{\frac{10A}{3 + A}} = \frac{29}{15}
\]

Điều chỉnh lại:

\[
\frac{4}{A} + \frac{9 + 3A}{10A} = \frac{29}{15}
\]

Giải phương trình này và nhân cả hai vế với \( 30A \) (để loại bỏ mẫu):

\[
120 + 27 + 9A = 58A \Rightarrow 147 = 49A \Rightarrow A = \frac{147}{49} = 3
\]

Thay \( A = 3 \) vào phương trình (3):

\[
B = \frac{10 \cdot 3}{3 + 3} = \frac{30}{6} = 5
\]

Bây giờ ta đã có \( A = 3 \) và \( B = 5 \). Nhớ lại:

\[
4x - y = 3 \quad \text{(4)}
\]
\[
2x + 3y = 5 \quad \text{(5)}
\]

Giải hệ phương trình (4) và (5):

Từ (4):

\[
y = 4x - 3 \quad \text{(6)}
\]

Thay (6) vào (5):

\[
2x + 3(4x - 3) = 5
\]
\[
2x + 12x - 9 = 5
\]
\[
14x - 9 = 5 \Rightarrow 14x = 14 \Rightarrow x = 1
\]

Thay \( x = 1 \) vào (6):

\[
y = 4(1) - 3 = 1
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
(x, y) = (1, 1)
\]