Để tính độ dài ba đường cao của tam giác có các cạnh tỉ lệ 2:3:4 và tổng ba đường cao là 13 cm, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Gọi độ dài ba cạnh** của tam giác lần lượt là \( a = 2k \), \( b = 3k \), và \( c = 4k \) (với \( k \) là hằng số).

2. **Tính diện tích (S)** của tam giác bởi công thức Heron:
\[
p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{2k + 3k + 4k}{2} = \frac{9k}{2}
\]
\[
S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{\frac{9k}{2} \left( \frac{9k}{2} - 2k \right) \left( \frac{9k}{2} - 3k \right) \left( \frac{9k}{2} - 4k \right)}
\]

Ta tính từng phần trong căn:
- \( p - a = \frac{9k}{2} - 2k = \frac{5k}{2} \)
- \( p - b = \frac{9k}{2} - 3k = \frac{3k}{2} \)
- \( p - c = \frac{9k}{2} - 4k = \frac{k}{2} \)

Do đó:
\[
S = \sqrt{\frac{9k}{2} \cdot \frac{5k}{2} \cdot \frac{3k}{2} \cdot \frac{k}{2}} = \sqrt{\frac{135k^4}{16}} = \frac{3k^2 \sqrt{15}}{4}
\]

3. **Tính độ dài ba đường cao** bằng công thức:
\[
h_a = \frac{2S}{a}, \quad h_b = \frac{2S}{b}, \quad h_c = \frac{2S}{c}
\]
Thay các giá trị vào:
\[
h_a = \frac{2 \cdot \frac{3k^2 \sqrt{15}}{4}}{2k} = \frac{3k \sqrt{15}}{4}
\]
\[
h_b = \frac{2 \cdot \frac{3k^2 \sqrt{15}}{4}}{3k} = \frac{3k \sqrt{15}}{6}
\]
\[
h_c = \frac{2 \cdot \frac{3k^2 \sqrt{15}}{4}}{4k} = \frac{3k \sqrt{15}}{8}
\]

4. **Tính tổng**:
\[
h_a + h_b + h_c = \frac{3k \sqrt{15}}{4} + \frac{3k \sqrt{15}}{6} + \frac{3k \sqrt{15}}{8}
\]

Để tính tổng này, tìm bội chung nhỏ nhất của 4, 6 và 8, đây là 24:
\[
h_a = \frac{18k\sqrt{15}}{24}, \quad h_b = \frac{12k\sqrt{15}}{24}, \quad h_c = \frac{9k\sqrt{15}}{24}
\]
\[
h_a + h_b + h_c = \frac{39k\sqrt{15}}{24}
\]

5. Đặt tổng:
\[
\frac{39k\sqrt{15}}{24} = 13 \implies 39k\sqrt{15} = 312 \implies k\sqrt{15} = 8 \implies k = \frac{8}{\sqrt{15}} \approx 2.065
\]

6. **Tính từng đường cao**:
- \( h_a \approx \frac{3 \cdot 2.065 \cdot \sqrt{15}}{4} \)
- \( h_b \approx \frac{3 \cdot 2.065 \cdot \sqrt{15}}{6} \)
- \( h_c \approx \frac{3 \cdot 2.065 \cdot \sqrt{15}}{8} \)

Cuối cùng, bạn sẽ có các độ dài của ba đường cao, căn cứ vào các công thức trên và thay vào giá trị của \( k \).