Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng phần:

### a. Tam giác ABM là tam giác gì?

Ta có tam giác ABM với các điểm A, B, M. Để xác định tính chất của tam giác này, ta có thể xem xét mối quan hệ giữa các đoạn thẳng. Với điều kiện cho trước là tứ giác ABCD có \( AB < AD \), chúng ta có thể xác định như sau:

- Pha đàm tính chất tam giác: Do A, B, M là ba điểm khác nhau trong không gian, và với M là điểm nằm trên tia phân giác BD, ta có thể nhận thấy rằng:
- Theo định nghĩa, phân giác tạo ra ba tam giác có diện tích tỷ lệ với các cạnh của chúng. Nếu M là điểm phân giác của BD, tức là tâm phân chia đoạn BD theo tỉ lệ.
- Để kết luận chính xác hơn về tính chất của tam giác ABM, ta cần thêm thông tin về cách sắp xếp, mối quan hệ giữa các đoạn thẳng.

Tuy nhiên, nếu đặt điều kiện rằng tứ giác ABCD là hình chóp hoặc hình bình hành, ta có thể suy ra thêm rằng ABM có thể là tam giác vuông nếu M là trung điểm của BD hoặc tạo thành một góc nhất định trong trường hợp khác.

### b. Chứng minh tứ giác BMDN là hình bình hành

Để chứng minh rằng tứ giác BMDN là hình bình hành, ta phải chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

1. Xét tứ giác BMDN với các điểm B, M, D, N.
2. M là trung điểm của đoạn AD, và N là điểm trên BC với BD và DN lần lượt là phân giác của các góc tại B và D.
3. Từ định lý về phân giác, ta có:

\[
\frac{BM}{MD} = \frac{AB}{AD}
\]

và

\[
\frac{BN}{NC} = \frac{AB}{AD}
\]

4. Với việc phân giác, ta có các đoạn BM, MD bằng nhau, do đó:

\[
BM = DN, \quad MD = BN
\]

5. Do đó, tứ giác BMDN có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau, nên BMDN là hình bình hành.

### Kết luận:

Từ bài toán này, ta có được:
- Tam giác ABM có thể là tam giác vuông hay theo tỉ lệ đoạn vật lý.
- Tứ giác BMDN là hình bình hành do đặc điểm của phân giác và sự tương đồng của các cạnh trong tam giác.

Hy vọng rằng phần giải thích trên giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán.