Để đơn giản các biểu thức trong các bài 7 và 8, ta thực hiện từng bước theo các công thức lượng giác.

### Bài 7:
a) \( A = -\frac{1}{\cos^2 x} \tan^2(180^\circ - x) - \cos^2(180^\circ - x) \)

- Ta có:
- \( \tan(180^\circ - x) = -\tan x \)
- \( \cos(180^\circ - x) = -\cos x \)

=> Thay vào biểu thức:

\[
A = -\frac{1}{\cos^2 x} (-\tan^2 x) - (-\cos^2 x) = \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} + \cos^2 x = \tan^2 x + \cos^2 x
\]

b) \( B = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cot^2 x - \tan^2 x} \)

- Ta có:
\[
\cot(x) = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad \tan(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \Rightarrow \cot^2 x - \tan^2 x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}
\]

=> Do đó:
\[
B = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}} = (\cos^2 x - \sin^2 x) \cdot \frac{\sin^2 x \cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \sin^2 x \cos^2 x
\]

c) \( C = \frac{\sin^3 a + \cos^3 a}{\cos^2 a + \sin a (\sin a - \cos a)} \)

- Tính phần tử tử:
\[
\sin^3 a + \cos^3 a = (\sin a + \cos a)(\sin^2 a - \sin a \cos a + \cos^2 a) = (\sin a + \cos a)(1 - \sin a \cos a)
\]

- Tính phần mẫu:
\[
\cos^2 a + \sin a (\sin a - \cos a) = \cos^2 a + \sin^2 a - \sin a \cos a = 1 - \sin a \cos a
\]

=> Do đó:
\[
C = \frac{(\sin a + \cos a)(1 - \sin a \cos a)}{1 - \sin a \cos a} = \sin a + \cos a \quad (1 - \sin a \cos a \neq 0)
\]

d) \( D = \frac{\sqrt{1 + \sin a}}{\sqrt{1 - \sin a} + \sqrt{1 + \sin a}} \)

- Ta có: \( \sqrt{1 - \sin a} + \sqrt{1 + \sin a} = (1 - \sin a)^{1/2} + (1 + \sin a)^{1/2} \)

=> Đây là dạng phức tạp, thực hiện việc tối giản không rõ ràng hơn.

### Bài 8:
a)
\[
(tan \alpha + cot \alpha)^2 - (tan \alpha - cot \alpha)^2
\]
Sử dụng công thức \( (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab \):
\[
= 4(tan \alpha)(cot \alpha) = 4
\]

b)
\[
2(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) - 3(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)
\]

- Ta biết: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
- Viết lại:
\[
= 2(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha) - 3
\]
- Ta có:
\(\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha\)
=>
\[
2(1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - 3 = 2 - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 3 = -1 - 4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha
\]

## Tổng kết:
- a) \( A = \tan^2 x + \cos^2 x \)
- b) \( B = \sin^2 x \cos^2 x \)
- c) \( C = \sin a + \cos a \)
- d) \( D \) chưa rút gọn hết.
- Bài 8 a) = 4, b) = \(-1 - 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha\)