Tính AB; chứng minh ABC là tam giác vuông

Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng một số công thức trong tam giác và tính chất của đường cao.

### a) Tính AB

Chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông AHB và AHC.

Trong tam giác AHB, ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
Thay các giá trị đã cho vào:
\[
AB^2 = 6^2 + 9^2
\]
\[
AB^2 = 36 + 81 = 117
\]
\[
AB = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \quad (\text{cm})
\]

Trong tam giác AHC, ta cũng có:
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]
Thay các giá trị vào:
\[
AC^2 = 6^2 + 4^2
\]
\[
AC^2 = 36 + 16 = 52
\]
\[
AC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \quad (\text{cm})
\]

### b) Chứng minh ABC là tam giác vuông

Để chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông, ta sẽ dùng định lý Pythagore cho tam giác ABC.

Ta biết rằng trong một tam giác, nếu đường cao AH hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC thì ta có:

\[
AB^2 + AC^2 = AH^2 + BH^2 + AH^2 + CH^2
\]

Thay các giá trị:
\[
AB^2 + AC^2 = 117 + 52 \\
= 169
\]

Và:
\[
BC^2 = BH + CH
= 9 + 4 = 13
\]

Phương trình cuối cùng là:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
Thay vào:
\[
117 + 52 = 169 \quad (\text{chuẩn xác})
\]

Vậy nên, do \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \), ta kết luận rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

### Kết luận
a) \( AB = 3\sqrt{13} \quad \text{cm} \) \\
b) Tam giác ABC là tam giác vuông.