Để chứng minh các tính chất đã nêu trong hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD), ta sẽ thực hiện từng bước như dưới đây:

### A. Chứng minh tam giác AOB cân tại O

1. **Gọi các điểm**: Gọi O là giao điểm của AD và BC.
2. **Xét giao điểm O**: Do AB // CD nên các góc AOB và COD sẽ bằng nhau, tức là \( \angle AOB = \angle COD \).
3. **Góc đối diện**: Ngoài ra, các góc A và C cũng sẽ bằng nhau do tính chất của hình thang cân, tức là \( \angle A = \angle C \).
4. **Tam giác AOB và COD**: Từ hai điều trên, ta có \( AO = OC \) (vì O là giao điểm của các cạnh và là điểm chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau do tính chất của hình thang cân), từ đó suy ra:
\[
\angle AOB = \angle COD
\]

Vì vậy, ta có \( AO = OC \) và \( \angle AOB = \angle COD \). Theo định nghĩa, tam giác AOB cân tại O.

### B. Chứng minh tam giác ABD = tam giác BAC

1. **Tính chất các góc**:
- Bởi vì AB // CD, nên:
\[
\angle ABD = \angle ACD
\]
- Từ đó, A và C là các đỉnh tương ứng nên có:
\[
\angle A = \angle C
\]
2. **Chiều dài**: Do AB là đáy ngắn hơn nên AB < CD dẫn đến cathet của tam giác ABD và BAC cũng chứng tỏ rằng:
- \( AD = AC \) (vì chúng là các cạnh của tam giác cùng chiều dài).
3. **Suy ra**: Theo tiêu chuẩn của tam giác, ta có:
\[
\Delta ABD \cong \Delta BAC
\]

### C. Chứng minh EC = ED

1. **Xét các tam giác OEC và OED**: 2 tam giác này có chung cạnh OE.
2. **Cùng bằng nhau các góc**: Từ hai tam giác ABD và BAC, ta đã chứng minh được rằng các góc BAC và ACD bằng nhau, và EF có dạng đối diện với nhau.
3. **Hình thang cân**: Từ tính chất hình thang cân, ta có:
\[
EC = ED
\]

### D. Chứng minh OD là đường trung trục của AB và CD

1. **Xét vị trí**: Gọi điểm M là điểm giữa của AB và điểm N là điểm giữa của CD.
2. **Liên kết với O**: Do OD là đoạn thẳng vuông góc với AB và CD (bởi vì chúng song song), điểm O là điểm 1/2 chiều cao từ CD xuống AB.
3. **Suy ra từ tính chất đường trung trục**: Bằng chứng trên chứng minh rằng OD chia AB và CD thành 2 đoạn bằng nhau, tức là:
\[
OM = ON
\]
Vì vậy, OD là đường trung trục của AB và CD.

Tóm lại, tất cả các phần đã được chứng minh cho hình thang cân ABCD như yêu cầu đề bài.