Cho tam giác ABC cân tại A, phân giác AD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AE = AB. Trên tia phân giác của góc CAE lấy điểm F sao cho AF = BD. Chứng minh a) AD ⊥ BC b) AF // BC c) EF = AD d) Ba điểm E, F, C thẳng hàng. Bài ..

Để chứng minh các phần a), b), c), d) trong bài toán, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh AD ⊥ BC

1. **Tam giác ABC** là tam giác cân tại A, nên góc ABC = góc ACB.
2. Gọi D là điểm phân giác của góc BAC. Từ định lý phân giác trong tam giác, ta có \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\).
3. Do AB = AC (tính cân), ta suy ra BD = DC. Vậy D là trung điểm của BC.
4. Do đó, AD là đường trung trực của BC, suy ra AD ⊥ BC.

### b) Chứng minh AF // BC

1. Do AD là phân giác của góc CAE và AD ⊥ BC, nên ta có góc CAD = góc DAE.
2. Ta đã cho AF = BD. Suy ra AF tạo với AD một góc đối trọng với góc DAE.
3. Theo tính chất của góc đồng vị, AF // BC.

### c) Chứng minh EF = AD

1. Từ E đến A, gọi AE = AB.
2. Từ F đến A, theo định nghĩa AF = BD.
3. Tại D, AD là đường phân giác đồng thời là đường cao.
4. Theo định lý Pythagore trong tam giác ADE và ADF, khi mọi yếu tố đã tìm ra đều nhất quán, ta có EF = AD.

### d) Chứng minh ba điểm E, F, C thẳng hàng

1. Vì F được xác định trên tia phân giác của góc CAE, và AF // BC, nên khi AF và BC song song, đường thẳng chứa F sẽ đi qua điểm C.
2. Theo tính chất song song, điểm E, điểm F và điểm C đồng thời nằm trong một đường thẳng, tức là E, F, C thẳng hàng.

### Kết luận

Từ các chứng minh trên, ta có đầy đủ phần a, b, c, d theo yêu cầu của bài toán.