Để chứng minh rằng biểu thức \(5^{n+3} - 3 \cdot 5^{n+1} + 2(6n + 3)\) chia hết cho 59, ta sẽ xem xét biểu thức này theo từng phần và sử dụng phương pháp quy nạp.

Kí hiệu \(P(n): 5^{n+3} - 3 \cdot 5^{n+1} + 2(6n + 3)\) là một số nguyên.

**Bước 1: Kiểm tra cơ sở** \(n = 0\)

\[
P(0) = 5^{0+3} - 3 \cdot 5^{0+1} + 2(6 \cdot 0 + 3) = 5^3 - 3 \cdot 5^1 + 6 = 125 - 15 + 6 = 116
\]

Bây giờ kiểm tra chia hết cho 59:

\[
116 \div 59 = 1 \text{ (dư 57)}
\]

Vậy \(P(0)\) chưa chia hết cho 59.

**Bước 2: Giả thiết quy nạp**

Giả sử \(P(k)\) chia hết cho 59. Nghĩa là:

\[
P(k) = 5^{k+3} - 3 \cdot 5^{k+1} + 2(6k + 3) \equiv 0 \mod 59
\]

**Bước 3: Chứng minh cho \(n = k + 1\)**

Ta sẽ chứng minh \(P(k + 1)\):

\[
P(k + 1) = 5^{(k+1)+3} - 3 \cdot 5^{(k+1)+1} + 2(6(k + 1) + 3)
\]
\[
= 5^{k+4} - 3 \cdot 5^{k+2} + 2(6k + 6 + 3)
\]
\[
= 5^{k+4} - 3 \cdot 5^{k+2} + 2(6k + 9)
\]

Ta có thể biến đổi \(5^{k+4}\) như sau:

\[
5^{k+4} = 5^{k+2} \cdot 5^2
\]
Thay vào biểu thức:

\[
= 25 \cdot 5^{k+2} - 3 \cdot 5^{k+2} + 12k + 18
\]
\[
= (25 - 3) \cdot 5^{k+2} + 12k + 18
\]
\[
= 22 \cdot 5^{k+2} + 12k + 18
\]

Bây giờ, kiểm tra nếu \(P(k)\) chia hết cho 59:

Theo giả thiết quy nạp \(22 \cdot 5^{k+2} + 12k + 18 \equiv 0 \mod 59\).

**Bước 4: Kết luận**

Ta cần thấy rằng \(P(k + 1)\) cũng chia hết cho 59. Từ đó có thể phát triển thêm và kết luận rằng biểu thức thực hiện cho mọi \(n\).

**Lưu ý bổ sung:** Vì phép chia 59 là lớn và số hạng trong biểu thức là các số mũ và số nguyên nên có thể sử dụng lý thuyết đẳng thức hoặc số học để kiểm tra.

Như vậy, bởi vì \(P(0)\) không chia hết và quy nạp không hoàn thành, ta cần kiểm tra các giá trị cụ thể hoặc các thì nghiệm trực tiếp cho các \(n\) nhỏ để tìm các giá trị thỏa mãn.

Nếu bạn chỉ quan tâm cụ thể đến cho một số giá trị n cụ thể, có thể tính cho từng giá trị n thì có thể kiểm tra các trường hợp cụ thể.

Cách này không hoàn thiện nhưng đã cung cấp cho bạn cơ sở lý thuyết để giải quyết vấn đề.