Để giải phương trình sau:

\[
\frac{x^2 - 4x - 8}{x^2 - 4} + \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{x - 5}{x - 2}
\]

Bước 1: Đơn giản hóa các biểu thức.

Ta có:

\[
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
\]

Vậy \( x^2 - 4 \) có thể viết lại trong mẫu số.

Bước 2: Thay vào phương trình:

\[
\frac{x^2 - 4x - 8}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{x - 5}{x - 2}
\]

Bước 3: Tìm Mẫu số chung là \((x - 2)(x + 2)\):

Ta biến đổi các phần phân số:

\[
\frac{x^2 - 4x - 8}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{(x + 1)(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{(x - 5)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Bước 4: Rút gọn:

Phương trình trở thành:

\[
\frac{x^2 - 4x - 8 + (x + 1)(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{(x - 5)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Bước 5: Giải phương trình:

Ta có:

\[
x^2 - 4x - 8 + (x^2 - x - 2) = x^2 - 3x - 10
\]

Gộp lại:

\[
2x^2 - 5x - 10 = x^2 - 3x - 10
\]

Giải phương trình:

\[
x^2 - 2x = 0
\]

Bước 6: Phân tích:

\[
x(x - 2) = 0
\]

Vậy:

\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2
\]

Bước 7: Kiểm tra điều kiện:

- \(x = 2\) không hợp lệ vì mẫu số \(x - 2 = 0\).

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{0}
\]