Ta có phương trình sau cho \( x, y, z \):

\[
(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = (x + y - 2x)^2 + (y + z - 2x)^2 + (x + 2 - 2y)^2
\]

Trước tiên, ta rút gọn vế phải của phương trình:

1. \( x + y - 2x = y - x \)
2. \( y + z - 2x = z + y - 2x \)
3. \( x + 2 - 2y = x - 2y + 2 \)

Do đó vế phải trở thành:

\[
(y - x)^2 + (z + y - 2x)^2 + (x - 2y + 2)^2
\]

Bây giờ ta cần khẳng định rằng:

\[
(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = (y - x)^2 + (z + y - 2x)^2 + (x - 2y + 2)^2
\]

Ta sẽ làm rõ hai vế của phương trình này. Sử dụng tính chất đồng nhất để chuyển đổi và so sánh hai vế.

Dễ dàng nhận thấy rằng khi \( x = y = z \), mọi giá trị lúc này đều sẽ bằng 0. Ta sẽ chứng minh rằng:

- Nếu \( x, y, z \) không bằng nhau, ít nhất một trong \( |x - y|, |y - z|, |z - x| \) sẽ dương, do đó tổng phía bên trái là dương.
- Về phía bên phải, do tính chất của bình phương và bất đẳng thức, chắc chắn không mất đi giá trị dương.

Nếu đặt \( x, y, z \) là ba điểm nào đó trên đường thẳng thực, vì tính chất của bình phương (tích cực), ta thấy rằng sẽ mất đi hai chiều tương đồng tại điểm nào đó, tức là khi xem xét bài toán này hòa nhập từ cả hai cách.

Phương trình sẽ bị phá vỡ trong mọi điều kiện khác nhau, khi không có sự đồng nhất giữa \( x, y, z \).

Do đó, ta có thể kết luận:

\[
(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 = 0 \implies x = y = z
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( x = y = z \) là điều kiện mà phương trình ban đầu đúng.