Tìm số tự nhiên n sao cho

Dưới đây là một số cách giải cho các bài toán trong đề bài:

### 1.46
Tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( n \neq 11 \); \( n + 2 \) là số nguyên tố và \( 13n + 27 \) là lập phương của một số tự nhiên.

- Đầu tiên, xác định điều kiện \( n + 2 \) là số nguyên tố. Các giá trị của \( n \) nên được xét từ 1 đến 10 và từ 12 trở đi.
- Sau đó, kiểm tra các giá trị \( n \) tìm được, xem có thỏa mãn điều kiện \( 13n + 27 \) là lập phương không (tức là có dạng \( k^3 \) với \( k \) là số nguyên).

### 1.47
Tìm các số nguyên dương \( n \) sao cho \( n^2 + n + 1 \) là số chính phương.

- Ta giả sử \( n^2 + n + 1 = m^2 \) (với m là số nguyên).
- Chuyển lại thành phương trình: \( n^2 + n + (1 - m^2) = 0 \).
- Tính Delta: \( \Delta = 1 - 4(1 - m^2) = 4m^2 - 3 \) và yêu cầu \( \Delta \) phải là một số chính phương.

### 1.48
Tìm số nguyên dương \( n \) sao cho \( n + 20 \) và \( n - 39 \) là các số chính phương.

- Gọi \( n + 20 = a^2 \) và \( n - 39 = b^2 \) (với \( a, b \) là số nguyên).
- Suy ra: \( a^2 - b^2 = 59 \) (theo công thức hiệu 2 bình phương).
- Giải phương trình này để tìm a và b, từ đó tính được n.

### 1.49
Cho các số tự nhiên \( a, b, c \) thỏa mãn \( p = a + b + c \). Chứng minh rằng \( A = (ap + bc)(bp + ac)(cp + ab) \) là số chính phương.

- Thay thế \( p \) vào công thức \( A \) và đơn giản hóa các biểu thức.
- Kiểm tra mối quan hệ giữa các yếu tố trong \( A \) và xét tính chất của các số chính phương.

### 1.50
Chứng minh rằng \( A = (ap + bc)(bp + ac)(cp + ab) \) là số chính phương.

- Tương tự như bài trước, thay các giá trị và chứng minh rằng tất cả thành phần của \( A \) được sắp xếp theo cách mà một số chính phương sẽ được tạo ra.

Mỗi bài toán cần được xử lý cẩn thận để tìm ra giá trị thích hợp cho \( n \) hoặc cho các điều kiện đã cho.