Để chứng minh ba điểm \( A \), \( B \), \( C \) thuộc một đường tròn, ta sử dụng tính chất của tam giác vuông:

1. **Tam giác vuông**: Trong tam giác \( ABC \), \( A \) là đỉnh của góc vuông. Theo định lý về đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông, tâm của đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của cạnh huyền.

2. **Tính cạnh huyền**: Cạnh \( BC \) sẽ là cạnh huyền của tam giác \( ABC \). Ta có:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}
\]

3. **Xác định tâm đường tròn**: Tâm đường tròn \( O \) là trung điểm của cạnh huyền \( BC \).

4. **Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn**: Theo định lý, ba điểm \( A, B, C \) sẽ thuộc cùng một đường tròn với tâm là \( O \) và bán kính \( R \) bằng nửa cạnh huyền \( BC \):

\[
R = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ cm}
\]

### Kết luận

Vậy ba điểm \( A, B, C \) thuộc cùng một đường tròn có tâm là trung điểm của \( BC \) và bán kính là 6.5 cm.