Để tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A1B1C1, ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của khối lăng trụ.

**Bước 1: Tính diện tích đáy ABC.**

Vì ABC là tam giác vuông cân tại A và cạnh BC = \( a \sqrt{2} \), nên cả cạnh AB và AC đều bằng \( a \).

Diện tích của tam giác vuông bằng:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}
\]

**Bước 2: Tính chiều cao của khối lăng trụ.**

Khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có mặt phẳng A1B1C1 hợp với mặt đáy ABC một góc 30 độ. Chiều cao của khối lăng trụ (h) sẽ được tính theo công thức:
\[
h = A1C \cdot \sin(30^\circ)
\]
Trong đó \( A1C \) chính là độ dài từ A1 đến mặt phẳng đáy ABC.

Giả sử Đường cao từ A1 đến đáy nằm vuông góc tại điểm A, chiều cao này sẽ được xác định bởi độ dài AC (hoặc AB) và độ cao này chính là một trong các cạnh của tam giác ABC.

Do vậy, chiều cao h của lăng trụ sẽ bằng:
\[
h = A1C \cdot \sin(30^\circ) = A1C \cdot \frac{1}{2}
\]

**Bước 3: Tính thể tích (V) của khối lăng trụ.**

Thể tích khối lăng trụ được tính bằng công thức:
\[
V = S_{ABC} \cdot h
\]
Như vậy:
\[
V = \frac{a^2}{2} \cdot (A1C \cdot \frac{1}{2})
\]

Cuối cùng, chúng ta cần biết độ dài A1C. Giả sử A1C có chiều cao nhất định.

Áp dụng giá trị của A1C, chúng ta có thể tính V.

Nếu A1C = c (chiều cao thẳng đứng từ A1 tới mặt phẳng), ta đặt chiều cao như h:
\[
V = \frac{a^2}{2} \cdot \left( h \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} a^2 h
\]
Như vậy, thể tích của khối lăng trụ ABC.A1B1C1 sẽ được xác định rõ nếu ta có thêm thông tin về chiều cao A1C.

Nếu A1 cao h = a (giả sử), thì V sẽ thành:
\[
V = \frac{1}{4} a^3
\]
Giá trị cuối cùng phụ thuộc vào các thông số cụ thể về chiều cao.