Để chứng minh rằng \( x = 1 \) và \( x = -\frac{3}{2} \) là hai nghiệm của đa thức \( P(x) = 2x^2 + x - 3 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Thay \( x = 1 \) vào đa thức \( P(x) \)**:
\[
P(1) = 2(1)^2 + (1) - 3 = 2 \cdot 1 + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0
\]
Vì \( P(1) = 0 \), nên \( x = 1 \) là một nghiệm của đa thức.

2. **Thay \( x = -\frac{3}{2} \) vào đa thức \( P(x) \)**:
\[
P\left(-\frac{3}{2}\right) = 2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right) - 3
\]
Tính từng phần:
\[
2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}
\]
\[
-\frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{9}{2}
\]
Bây giờ tính tổng:
\[
P\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{2} - \frac{9}{2} = 0
\]
Vì \( P\left(-\frac{3}{2}\right) = 0 \), nên \( x = -\frac{3}{2} \) cũng là một nghiệm của đa thức.

Kết luận: Cả hai giá trị \( x = 1 \) và \( x = -\frac{3}{2} \) là nghiệm của đa thức \( P(x) = 2x^2 + x - 3 \).