Cho hình thang ABCD có AB//CD và góc C và góc A. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành

Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng yêu cầu trong bài toán này.

### 1. Chứng minh rằng hình thang ABCD là hình bình hành nếu AB // CD và góc C và góc A.

Giả sử AB // CD và góc A, góc C.

Theo định nghĩa của hình thang, ta có hai cạnh đối diện AB và CD song song. Khi hai đoạn thẳng song song với nhau, các góc ở hai bên phía trong của chúng sẽ có tính chất sau:

- Góc A và góc D cũng là góc so le trong.
- Góc B và góc C cũng là góc so le trong.

Vì AB // CD và góc C bằng góc A (trong trường hợp này, chúng ta dựng góc A và góc C bằng nhau), tương tự cho góc B và góc D.

Do đó, có

\[
\angle A = \angle D \quad \text{và} \quad \angle B = \angle C
\]

Như vậy, tứ giác ABCD có hai cặp góc đối bằng nhau. Theo định lý, nếu một tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau thì nó là một hình bình hành. Vì vậy, ABCD là hình bình hành.

---

### 2. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành nếu M là trung điểm BC và MD = MA.

Xét tam giác ACD với M là trung điểm của BC. Theo giả thuyết, trên tia đối của tia MA, ta có điểm D sao cho MD = MA.

Ta có:
- \( M \) là trung điểm của \( BC \) => \( MB = MC \)

Bây giờ xét tam giác \( AMB \) và \( CMD \):
- Ta có:
- \( AM = MD \) (do điều kiện \( MD = MA \))
- \( MB = MC \) (vì M là trung điểm)
- \( AD = AC \) (Do \( MD = MA \))

Áp dụng định lý về tam giác với hai bên bằng nhau và cùng một đáy thì dễ thấy lõm 3 điểm A,M và D sẽ tạo thành hình bình hành. Do vậy, tứ giác ABCD là hình bình hành.

---

### 3. Chứng minh rằng AMND là hình bình hành.

Xét hình bình hành ABCD và xét M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Ta có:
- \( AM = MB \)
- \( CN = ND \)

Căn cứ vào định nghĩa của hình bình hành và với điều kiện \( AM = MB \) và \( CN = ND \), ta cũng có thể chứng minh rằng \( AN = MD \) (vì AM = MB và CN = ND).

Ta cũng nhận thấy:
- \( AMN \) và \( BND \) có chiều dài các cạnh bằng nhau, do đó theo tính chất chiều dài các cạnh, ta có \( AM = ND \).
- Từ việc các cặp bên đối diện bằng nhau, cấu trúc của tứ giác AMND cho thấy nó phải là hình bình hành.

Vì vậy tứ giác AMND cũng là hình bình hành.

---

Như vậy, chúng ta đã chứng minh cả ba yêu cầu của bài toán.