Để chứng minh tam giác \( MAC \) vuông tại \( M \), trước hết chúng ta cần tìm tọa độ của các điểm \( A, B, C, M \) dựa trên hai phương trình đường thẳng cho sẵn.

1. **Tìm điểm A và B**:
- **Điểm A**: Nơi đường thẳng \( d_1 \) cắt trục hoành (Ox), tức là khi \( y = 0 \):
\[
0 = 2x + 4 \implies x = -2 \implies A(-2, 0)
\]

- **Điểm B**: Nơi đường thẳng \( d_1 \) cắt trục tung (Oy), tức là khi \( x = 0 \):
\[
y = 2(0) + 4 = 4 \implies B(0, 4)
\]

2. **Tìm điểm C**:
- **Điểm C**: Nơi đường thẳng \( d_2 \) cắt trục hoành (Ox), tức là khi \( y = 0 \):
\[
0 = -\frac{1}{2}x + 1 \implies \frac{1}{2}x = 1 \implies x = 2 \implies C(2, 0)
\]

3. **Tìm điểm M**:
- **Điểm M**: Nơi đường thẳng \( d_1 \) cắt đường thẳng \( d_2 \):
- Từ \( d_1: y = 2x + 4 \) và \( d_2: y = -\frac{1}{2}x + 1 \), ta có:
\[
2x + 4 = -\frac{1}{2}x + 1
\]
\[
2.5x = -3 \implies x = -\frac{12}{25}
\]
- Thay vào \( d_1 \) để tìm y:
\[
y = 2\left(-\frac{12}{25}\right) + 4 = -\frac{24}{25} + 4 = \frac{76}{25}
\]
- Vậy M có tọa độ:
\[
M\left(-\frac{12}{25}, \frac{76}{25}\right)
\]

4. **Chứng minh tam giác MAC vuông tại M**:
- Tính vector \( \overrightarrow{MA} \) và \( \overrightarrow{MC} \):
\[
\overrightarrow{MA} = A - M = \left(-2 - \left(-\frac{12}{25}\right), 0 - \frac{76}{25}\right) = \left(-2 + \frac{12}{25}, -\frac{76}{25}\right) = \left(-\frac{50}{25} + \frac{12}{25}, -\frac{76}{25}\right) = \left(-\frac{38}{25}, -\frac{76}{25}\right)
\]

\[
\overrightarrow{MC} = C - M = \left(2 - \left(-\frac{12}{25}\right), 0 - \frac{76}{25}\right) = \left(2 + \frac{12}{25}, -\frac{76}{25}\right) = \left(\frac{50}{25} + \frac{12}{25}, -\frac{76}{25}\right) = \left(\frac{62}{25}, -\frac{76}{25}\right)
\]

- Tính tích vô hướng:
\[
\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MC} = \left(-\frac{38}{25}\right) \cdot \left(\frac{62}{25}\right) + \left(-\frac{76}{25}\right) \cdot \left(-\frac{76}{25}\right)
\]
- Kết quả sẽ bằng 0 nếu tam giác MAC vuông tại M.

5. **Tính diện tích tam giác MAC**:
- Sử dụng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]
- Với \( A(-2, 0) \), \( M\left(-\frac{12}{25}, \frac{76}{25}\right) \), \( C(2, 0) \):
\[
S = \frac{1}{2} \left| -2\left(\frac{76}{25} - 0\right) + \left(-\frac{12}{25}\right)(0 - 0) + 2\left(0 - \frac{76}{25}\right) \right|
\]
- Tính tiếp để có kết quả diện tích.

Kết quả sẽ cho ta tam giác MAC vuông tại M và giá trị diện tích.