Để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta bắt đầu từ điều kiện đã cho:

\[
a^2 + b^2 + c^2 + ab - 2bc - 2ca = 0.
\]

Ta sẽ sử dụng các biến số để tiện cho việc tính toán. Đặt:

\[
S = a^2 + b^2 + c^2 + ab - 2bc - 2ca.
\]

Từ \(S = 0\), ta có thể sắp xếp lại các hạng tử để phân tích.

### Bước 1: Tách các hạng tử

Thay \(c\) bằng một biểu thức thỏa mãn điều kiện \(S=0\) và làm đơn giản hóa các biểu thức.

### Bước 2: Áp dụng các bất đẳng thức cơ bản

Dựa vào điều kiện \(a, b, c > 0\), chúng ta cần chứng minh:

\[
\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 + b^2} + \frac{c^2}{(a+b-c)^2} + \frac{\sqrt{ab}}{a+b} \geq 3.
\]

### Bước 3: Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho từng cụm trong biểu thức, sau đó tính toán và so sánh để cho ra bất đẳng thức.

### Bước 4: Kết luận

- Chứng minh rằng mỗi thành phần trong bất đẳng thức lớn hơn hoặc bằng một giá trị cụ thể (ví dụ: bạn có thể tìm điều kiện cần thiết cho các chia của các hạng tử).
- Kết hợp các giá trị này cho ra kết quả cuối cùng thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

### Lưu ý

Đối với bài toán này, có thể cần sử dụng thêm các biến đổi, hoặc thay thế các thông số sao cho dễ tính hơn. Đồng thời có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM để tăng cường tính chính xác.